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第1章 函数、极限与连续1

1.1 预备知识1

1.1.1 实数的绝对值1

1.1.2 集合1

1.1.3 区间和邻域2

习题1.14

1.2 函数4

1.2.1 函数的概念4

1.2.2 函数的几种特性7

1.2.3 反函数与复合函数10

1.2.4 基本初等函数与初等函数12

1.2.5 建立函数关系式举例14

习题1.215

1.3 数列的极限18

1.3.1 数列的概念及其性质18

1.3.2 数列的极限19

1.3.3 数列的收敛性与有界性的关系22

习题1.323

1.4 函数的极限23

1.4.1 自变量趋向于无穷时函数的极限23

1.4.2 自变量趋向于有限值时函数的极限25

1.4.3 函数极限的性质定理28

习题1.428

1.5 极限的运算法则29

1.5.1 极限的四则运算法则29

1.5.2 复合函数的极限32

1.5.3 极限的不等式定理33

习题1.534

1.6 极限存在的夹逼准则、两个重要极限35

1.6.1 极限存在的夹逼准则35

1.6.2 两个重要极限36

习题1.641

1.7 无穷小、无穷大及无穷小的比较41

1.7.1 无穷小41

1.7.2 无穷大42

1.7.3 无穷小的比较43

习题1.745

1.8 函数的连续性与间断点46

1.8.1 函数的连续性46

1.8.2 左、右连续及连续的充要条件48

1.8.3 函数的间断点及其分类48

习题1.851

1.9 连续函数的运算及初等函数的连续性51

1.9.1 连续函数的四则运算51

1.9.2 反函数与复合函数的连续性52

1.9.3 初等函数的连续性52

习题1.953

1.10 闭区间上连续函数的性质54

1.10.1 最大值和最小值定理54

1.10.2 介值定理55

习题1.1056

复习题（1）56

第2章 导数与微分59

2.1 导数的概念59

2.1.1 变化率问题举例59

2.1.2 函数的导数61

2.1.3 导数的几何意义65

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系65

习题2.166

2.2 函数的四则运算求导法则67

2.2.1 函数的和、差求导法则67

2.2.2 函数的积、商求导法则68

习题2.270

2.3 反函数的导数71

2.3.1 反函数的求导法则71

2.3.2 指数函数的导数72

2.3.3 反三角函数的导数72

习题2.374

2.4 复合函数的求导法则74

2.4.1 复合函数的求导法则74

2.4.2 基本求导公式与求导法则77

习题2.478

2.5 高阶导数80

习题2.582

2.6 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数82

2.6.1 隐函数的导数82

2.6.2 对数求导法85

2.6.3 由参数方程所确定的函数的导数85

2.6.4 相关变化率87

习题2.688

2.7 函数的微分89

2.7.1 微分的定义89

2.7.2 函数可微与可导之间的关系90

2.7.3 微分的几何意义92

2.7.4 函数的微分公式与微分法则92

2.7.5 复合函数的微分法则与一阶微分形式不变性93

2.7.6 微分在近似计算中的应用94

习题2.796

复习题（2）97

第3章 中值定理与导数的应用100

3.1 中值定理100

3.1.1 罗尔定理100

3.1.2 拉格朗日中值定理101

3.1.3 柯西中值定理102

习题3.1103

3.2 洛必达法则104

3.2.1 0/0和∞／∞型未定式的洛必达法则104

3.2.2 其他未定式的计算106

习题3.2108

3.3 函数单调性的判别法与极值109

3.3.1 函数单调性的判别法109

3.3.2 函数的极值及其求法111

习题3.3115

3.4 最大值和最小值问题116

3.4.1 函数在闭区间上的最大值和最小值116

3.4.2 实际问题中的最大值和最小值117

习题3.4119

3.5 曲线的凹凸性与拐点119

3.5.1 曲线的凹凸性119

3.5.2 曲线的拐点121

习题3.5122

3.6 函数图形的描绘122

3.6.1 曲线的水平渐近线与铅直渐近线123

3.6.2 函数图形的描绘123

习题3.6125

3.7 曲率（理工类用）126

3.7.1 弧微分127

3.7.2 曲率的概念及计算公式127

3.7.3 曲率半径与曲率圆131

习题3.7132

3.8 导数在经济分析中的应用（经管类用）133

3.8.1 经济函数133

3.8.2 边际分析134

3.8.3 弹性分析135

3.8.4 极值在经济管理中的应用举例138

习题3.8139

复习题（3）140

第4章 不定积分144

4.1 不定积分的概念与性质144

4.1.1 原函数与不定积分的概念144

4.1.2 基本积分表147

4.1.3 不定积分的性质149

习题4.1152

4.2 换元积分法153

4.2.1 第一类换元积分法153

4.2.2 第二类换元积分法159

4.2.3 基本积分表的扩充162

习题4.2163

4.3 分部积分法165

习题4.3169

4.4 简单有理真分式的积分及三角函数有理式的积分举例（理工类用）170

4.4.1 有理真分式的积分170

4.4.2 三角函数有理式的积分174

习题4.4176

复习题（4）176

第5章 定积分及其应用180

5.1 定积分的概念与性质180

5.1.1 引入定积分概念的实例180

5.1.2 定积分的定义183

5.1.3 定积分的几何意义184

5.1.4 定积分的性质185

习题5.1188

5.2 牛顿-莱布尼茨公式189

5.2.1 变上限的定积分所确定的函数及其导数189

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式191

习题5.2194

5.3 定积分的换元法与分部积分法195

5.3.1 定积分的换元法195

5.3.2 定积分的分部积分法199

习题5.3201

5.4 定积分在几何中的应用202

5.4.1 元素法202

5.4.2 平面图形的面积203

5.4.3 某些特殊立体的体积207

5.4.4 平面曲线的弧长（理工类用）210

习题5.4213

5.5 定积分在物理、力学中的应用举例（理工类用）214

5.5.1 计算作功214

5.5.2 计算水压力217

习题5.5219

5.6 定积分在经济分析中的应用举例（经管类用）220

5.6.1 已知边际函数求总量函数220

5.6.2 已知总量函数的变化率（或边际函数），求总量函数的改变量221

5.6.3 由边际函数求总量函数的最大值或最小值221

习题5.6223

5.7 反常积分与Γ-函数简介223

5.7.1 无限区间上的反常积分223

5.7.2 无界函数的反常积分226

5.7.3 Γ-函数简介228

习题5.7229

复习题（5）229

第6章 常微分方程234

6.1 微分方程的基本概念234

6.1.1 引例234

6.1.2 微分方程的一般概念236

习题6.1238

6.2 变量可分离的微分方程及齐次方程238

6.2.1 变量可分离的微分方程239

6.2.2 齐次方程241

习题6.2244

6.3 一阶线性微分方程244

习题6.3248

6.4 可降阶的高阶微分方程（理工类用）249

6.4.1 y″（n）＝f（x）型249

6.4.2 y″＝f（x,y′）型250

6.4.3 y″＝f（y,y′）型251

习题6.4253

6.5 二阶常系数线性齐次微分方程253

6.5.1 二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构254

6.5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法255

习题6.5259

6.6 二阶常系数线性非齐次微分方程259

6.6.1 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性259

6.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法260

习题6.6267

6.7 微分方程的实际应用举例（理工类用）267

习题6.7275

6.8 微分方程在经济分析中的应用举例（经管类用）276

习题6.8280

复习题（6）281

附录285

附录A 简单积分表285

附录B 初等数学常用公式289

附录C 极坐标简介292

附录D 某些常用的曲线方程及其图形293