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第1章 引言1

1.1 误差、有效数字与机器数系1

1.1.1 误差的来源与概念1

1.1.2 误差的传播4

1.1.3 有效数字4

1.1.4 机器数系5

1.2 数值计算陷阱的防范措施6

1.2.1 注意防止大数吃小数6

1.2.2 防止计算过程结果溢出8

1.2.3 防止两个相近的数做减法8

1.2.4 防止用0做除数9

1.2.5 要尽量减少计算量，简化计算公式10

1.2.6 要用稳定的数值计算格式11

1.2.7 熟悉提高程序运行效率的常用方法12

1.3 典型例题分析14

第2章 插值法17

2.1 插值问题17

2.1.1 基本概念17

2.1.2 插值多项式的存在与唯一性18

2.2 Lagrange（拉格朗日）插值法19

2.2.1 Lagrange插值多项式19

2.2.2 插值多项式的余项22

2.2.3 典型例题分析24

2.3 Newton插值多项式与差商27

2.3.1 差商的定义与性质28

2.3.2 Newton插值多项式和余项表达式30

2.3.3 典型例题分析32

2.4 差分与等距节点插值35

2.4.1 差分及其性质35

2.4.2 等距节点插值公式37

2.4.3 典型例题分析38

2.5 Hermite（埃尔米特）插值39

2.5.1 Hermite插值多项式及其余项39

2.5.2 典型例题分析41

2.6 分段插值法44

2.6.1 多项式插值的缺陷与Runge现象44

2.6.2 分段线性插值45

2.6.3 分段二次插值46

2.6.4 典型例题分析47

2.7 三次样条插值函数48

2.7.1 三次样条的定义和定解条件48

2.7.2 构造样条插值函数的方法50

2.7.3 三次样条函数的误差估计54

2.7.4 典型例题分析55

第3章 线性方程组的直接解法58

3.1 问题提出58

3.2 Gauss（高斯）消去法59

3.2.1 三角形方程组的解法59

3.2.2 Gauss消去法60

3.2.3 Gauss消去法的计算量62

3.2.4 Gauss消去法的矩阵解释63

3.2.5 Gauss消去法的条件64

3.2.6 列主元和全主元消去法66

3.2.7 典型例题分析67

3.3 追赶法68

3.3.1 追赶法69

3.3.2 典型例题分析70

3.4 矩阵的三角分解72

3.4.1 矩阵分解的紧凑格式72

3.4.2 改进的平方根法75

3.4.3 带列主元的三角分解法76

3.4.4 典型例题分析77

3.5 向量范数和矩阵范数81

3.5.1 向量范数81

3.5.2 矩阵范数84

3.5.3 典型例题分析89

3.6 摄动理论与误差分析初步92

3.6.1 条件数与摄动理论92

3.6.2 Gauss消去法的浮点数舍入误差分析98

3.6.3 病态检测与改善99

3.6.4 典型例题分析100

第4章 解线性方程组的迭代法102

4.1 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的构造102

4.1.1 Jacobi（雅可比）迭代法的构造103

4.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造104

4.1.3 典型例题分析105

4.2 迭代法的收敛性107

4.2.1 一阶定常迭代法的收敛性107

4.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性110

4.2.3 迭代法的收敛速度112

4.2.4 典型例题分析112

4.3 SOR（逐次超松弛）迭代法115

4.3.1 SOR方法的构造115

4.3.2 SOR方法的收敛性117

4.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择118

4.3.4 典型例题分析119

第5章 方程求根122

5.1 方程根的存在性、唯一性与二分法122

5.1.1 方程根的存在与唯一性122

5.1.2 有根区间的确定方法123

5.1.3 二分法123

5.1.4 典型例题分析125

5.2 迭代法的基本概念与收敛性128

5.2.1 迭代法的基本概念128

5.2.2 Picard迭代的收敛性129

5.2.3 迭代格式的收敛速度135

5.2.4 典型例题分析136

5.3 加速方法138

5.3.1 Aitken加速法138

5.3.2 其他加速技巧139

5.3.3 典型例题分析140

5.4 Newton-Raphson迭代法141

5.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造141

5.4.2 Newton法的收敛性142

5.4.3 Newton法的改进措施144

5.4.4 求非线性方程组的Newton法145

5.4.5 典型例题分析146

5.5 割线法149

5.6 代数方程求根151

5.6.1 多项式求值的秦九韶算法151

5.6.2 代数方程的Newton法153

5.6.3 代数方程的劈因子法153

5.6.4 典型例题分析156

第6章 数据拟合与函数逼近158

6.1 矩阵的广义逆158

6.1.1 广义逆的定义与性质159

6.1.2 典型例题分析161

6.2 方程组的最小二乘解162

6.2.1 最小二乘解的定义与存在唯一性163

6.2.2 典型例题分析166

6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解167

6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法与方程组的最小二乘解167

6.3.2 Householder变换法170

6.3.3 矩阵的奇异值分解与方程组的最小二乘解174

6.3.4 典型例题分析176

6.4 正交多项式179

6.4.1 Chebyshev（切比雪夫）多项式179

6.4.2 Chebyshev正交多项式的应用与函数系的线性无关性181

6.4.3 一般正交多项式185

6.4.4 典型例题分析186

6.5 数据拟合187

6.5.1 问题的提法和预备知识187

6.5.2 最小二乘拟合问题的求解与正规方程组188

6.5.3 正交多项式在数据拟合问题中的应用192

6.5.4 典型例题分析193

6.6 函数逼近初步196

6.6.1 函数逼近问题的提法与逼近函数的存在性196

6.6.2 最佳平方逼近197

6.6.3 最佳一致逼近200

6.6.4 典型例题分析202

第7章 数值积分与数值微分206

7.1 数值积分的基本思想与代数精度206

7.1.1 数值积分的基本思想206

7.1.2 插值型求积公式208

7.1.3 代数精度208

7.1.4 典型例题分析209

7.2 Newton-Cotes（牛顿-科茨）型求积公式210

7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出210

7.2.2 几种低阶求积公式的余项212

7.2.3 复化求积法214

7.2.4 典型例题分析215

7.3 区间逐次二分法与Romberg算法217

7.3.1 区间逐次二分法217

7.3.2 复化求积公式的阶219

7.3.3 Romberg算法219

7.3.4 典型例题分析222

7.4 Gauss（高斯）型积分公式223

7.4.1 基本概念223

7.4.2 Gauss点225

7.4.3 Gauss-Legendre（高斯-勒让德）求积公式226

7.4.4 稳定性和收敛性227

7.4.5 带权Gauss型求积公式229

7.4.6 典型例题分析230

7.5 数值微分简介230

7.5.1 插值型求导公式230

7.5.2 三次样条插值求导233

7.5.3 典型例题分析234

第8章 常微分方程数值解法235

8.1 常微分方程初值问题235

8.1.1 初值问题的提法与解的存在性235

8.1.2 方程的离散化方法236

8.1.3 几个基本概念238

8.1.4 整体截断误差、局部截断误差与差分格式的阶238

8.1.5 Euler显式格式的几何解释239

8.1.6 典型例题分析240

8.2 Runge-Kutta（龙格-库塔）法241

8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想241

8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法243

8.2.3 步长的选取244

8.2.4 典型例题分析245

8.3 单步法的收敛性和稳定性245

8.3.1 Euler显式格式的收敛性246

8.3.2 一般单步法的收敛性248

8.3.3 单步法的稳定性250

8.3.4 典型例题分析252

8.4 线性多步法253

8.4.1 Adams外推法253

8.4.2 Adams内插法255

8.4.3 Adams预报-校正格式256

8.4.4 典型例题分析256

8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法257

8.5.1 一阶方程组257

8.5.2 化高阶方程为一阶方程组258

8.5.3 边值问题的差分解法258

8.5.4 典型例题分析259

第9章 矩阵特征值与特征向量的计算261

9.1 幂法与反幂法261

9.1.1 幂法261

9.1.2 幂法的加速265

9.1.3 反幂法267

9.1.4 典型例题分析269

9.2 Jacobi（雅可比）方法271

9.2.1 预备知识271

9.2.2 Jacobi方法272

9.2.3 Jacobi过关法276

9.2.4 典型例题分析276

9.3 QR算法277

9.3.1 QR分解277

9.3.2 QR算法279

9.3.3 典型例题分析280

附录1 上机实习282

A1.1 插值问题282

A1.2 线性方程组的求解282

A1.3 矩阵条件数的估计283

A1.4 方程求根284

A1.5 曲线拟合问题284

A1.6 数值积分285

A1.7 常微分方程初（边）值问题286

A1.8 矩阵特征值计算287

附录2 理工科专业期末考试模拟题288

A2.1 理工科专业“计算方法”模拟题A288

A2.2 理工科专业“计算方法”模拟题B289

A2.3 理工科专业“计算方法”模拟题C290

A2.4 理工科专业“计算方法”模拟题D291

A2.5 理工科专业“计算方法”模拟题E292

A2.6 理工科专业“计算方法”模拟题F294

A2.7 理工科专业“计算方法”模拟题A答案295

A2.8 理工科专业“计算方法”模拟题B答案298

A2.9 理工科专业“计算方法”模拟题C答案299

A2.10 理工科专业“计算方法”模拟题D答案301

A2.11 理工科专业“计算方法”模拟题E答案302

A2.12 理工科专业“计算方法”模拟题F答案303

附录3 数学专业考试模拟题308

A3.1 数学专业“数值分析”模拟题A308

A3.2 数学专业“数值分析”模拟题B309

A3.3 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题A310

A3.4 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题B311

A3.5 数学专业“数值分析”模拟题A答案312

A3.6 数学专业“数值分析”模拟题B答案313

A3.7 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题A答案315

A3.8 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题B答案320

参考文献327