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第1讲 函数极限1

1.1 内容概述1

1.2 典型例题分析1

【题型1-1】0/0型极限1

【题型1-2】∞/∞型极限4

【题型1-3】∞-∞型与0·∞型极限6

【题型1-4】1∞型、00型和∞0型的极限8

【题型1-5】证明极限存在或估计极限的范围9

【题型1-6】估计无穷小量的阶或求无穷小量的主部11

【题型1-7】无穷大量的阶或比较13

【题型1-8】已知某极限求另一极限，或求其中的参数，或求抽象函数的函数值14

【题型1-9】有界函数×无穷小量问题16

【题型1-10】综合问题16

1.3 精选备赛练习17

1.4 答案与提示19

第2讲 数列极限20

2.1 内容概述20

2.2 典型例题分析20

【题型2-1】n项和Sn的极限20

【题型2-2】n项乘积的极限23

【题型2-3】递推数列的极限24

【题型2-4】施瓦茨定理及应用27

【题型2-5】其他数列极限问题30

2.3 精选备赛练习32

2.4 答案与提示33

第3讲 连续、导数与微分35

3.1 内容概述35

3.2 典型例题分析35

【题型3-1】函数的连续性的讨论35

【题型3-2】连续函数的介值问题37

【题型3-3】可导性的判断与按定义求导数的有关问题39

【题型3-4】反函数、隐函数、由参数方程确定的函数的高阶导数41

【题型3-5】一般显函数的n阶导数43

【题型3-6】导函数的相关性质44

3.3 精选备赛练习47

3.4 答案与提示48

第4讲 微分中值定理与导数的应用49

4.1 内容概述49

4.2 典型例题分析49

【题型4-1】中值的存在性问题49

【题型4-2】不等式的证明57

【题型4-3】函数的性态以及方程的根的讨论62

4.3 精选备赛练习66

4.4 答案与提示69

第5讲 不定积分72

5.1 内容概述72

5.2 典型例题分析72

【题型5-1】概念性题目72

【题型5-2】用直接积分法计算不定积分74

【题型5-3】用凑微分法计算不定积分75

【题型5-4】用换元积分法计算不定积分77

【题型5-5】用分部积分法计算不定积分81

【题型5-6】有理函数、三角函数的有理式、无理函数的积分82

【题型5-7】综合例题85

5.3 精选备赛练习87

5.4 答案与提示88

第6讲 定积分与反常积分90

6.1 内容概述90

6.2 典型例题分析90

【题型6-1】定积分的计算90

【题型6-2】利用某些积分公式计算定积分95

【题型6-3】定积分概念的有关问题97

【题型6-4】变限积分的相关问题100

【题型6-5】定积分等式与不等式的证明103

【题型6-6】反常积分的计算112

【题型6-7】定积分的应用116

6.3 精选备赛练习120

6.4 答案与提示123

第7讲 微分方程126

7.1 内容概述126

7.2 典型例题分析126

【题型7-1】通过变换解微分方程126

【题型7-2】能够化为欧拉方程的问题128

【题型7-3】能够化为可降阶的二阶微分方程的问题129

【题型7-4】综合题131

【题型7-5】应用题134

7.3 精选备赛练习137

7.4 答案与提示141

第8讲 矢量代数与空间解析几何144

8.1 内容概述144

8.2 典型例题分析144

【题型8-1】矢量的运算144

【题型8-2】平面与直线145

【题型8-3】曲面与曲线148

8.3 精选备赛练习150

8.4 答案与提示152

第9讲 多元函数微分学154

9.1 内容概述154

9.2 典型例题分析154

【题型9-1】求二重极限或证明二重极限不存在154

【题型9-2】判断函数连续、偏导数存在、可微以及方向导数存在的问题155

【题型9-3】求偏导数问题159

【题型9-4】极值及最值问题161

【题型9-5】综合问题163

9.3 精选备赛练习165

9.4 答案与提示166

第10讲 重积分168

10.1 内容概述168

10.2 典型例题分析168

【题型10-1】在直角坐标系和极坐标系下计算二重积分168

【题型10-2】用二重积分的一般代换公式计算二重积分175

【题型10-3】三重积分的计算180

【题型10-4】重积分的应用184

10.3 精选备赛练习188

10.4 答案与提示189

第11讲 曲线积分191

11.1 内容概述191

11.2 典型例题分析191

【题型11-1】第一型曲线积分的计算191

【题型11-2】平面第二型曲线积分的计算194

【题型11-3】空间第二型曲线积分198

【题型11-4】曲线积分与路径无关的条件的应用201

【题型11-5】综合题202

11.3 精选备赛练习205

11.4 答案与提示208

第12讲 曲面积分210

12.1 内容概述210

12.2 典型例题分析210

【题型12-1】第一型曲面积分的计算210

【题型12-2】第二型曲面积分的计算213

【题型12-3】综合题217

12.3 精选备赛练习224

12.4 答案与提示226

第13讲 无穷级数227

13.1 内容概述227

13.2 典型例题分析227

【题型13-1】通过计算数项级数的部分和求级数的和227

【题型13-2】利用比值判别法、根值判别法对正项级数判敛228

【题型13-3】使用比较判别法及其极限形式对正项级数的判敛230

【题型13-4】变号级数判敛232

【题型13-5】通项包含有抽象数列的级数的敛散性证明234

【题型13-6】求幂级数的收敛区间与收敛域238

【题型13-7】将函数展开为幂级数240

【题型13-8】求幂级数的和函数243

【题型13-9】利用幂级数求数项级数的和245

【题型13-10】利用级数讨论反常积分的敛散并求积分247

【题型13-11】综合题250

13.3 精选备赛练习253

13.4 答案与提示256

附录260

首届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2009）260

首届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2010）265

第二届中国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2010）271

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2011）277

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2011）282

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2012）286

第四届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2012）292

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2013）297

第五届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2013）301

第五届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2014）306