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第一章 函数、极限、连续1

学习提要1

考试要求1

读图记考点2

核心知识全解3

一、函数3

（一）函数的概念及表示法3

（二）函数的性质3

（三）常见函数4

二、极限5

（一）极限的概念5

（二）极限的性质5

（三）极限存在准则6

（四）极限的四则运算法则6

（五）两个重要极限6

（六）无穷小、无穷大6

三、连续7

（一）连续的概念7

（二）间断点及其类型7

（三）连续函数的性质7

经典题型与方法技巧8

一、函数8

题型1——利用函数的概念解题8

题型2——利用函数的性质解题8

题型3——常见函数的类型9

二、极限10

题型1——数列极限10

题型2——函数极限13

题型3——用函数解数列极限20

题型4——含参数的极限问题21

三、函数连续性与间断点22

题型1——函数的连续性22

题型2——间断点类型的判断23

本章同步练习题24

一、选择题24

二、填空题26

三、解答题26

同步练习题答案解析27

一、选择题27

二、填空题29

三、解答题32

第二章 一元函数微分学37

学习提要37

考试要求37

读图记考点38

核心知识全解39

一、导数与微分39

（一）导数与微分的概念39

（二）导数的几何意义与物理意义39

（三）导数的计算40

（四）函数连续、可导与可微的关系42

（五）一阶微分形式的不变性42

二、微分中值定理42

（一）罗尔定理42

（二）拉格朗日中值定理42

（三）柯西中值定理43

（四）泰勒中值定理43

三、导数的应用43

（一）洛必达法则43

（二）判断函数单调性44

（三）函数的极值与最值44

（四）曲线凹凸性、拐点及渐近线45

（五）函数图形的描绘46

（六）方程的根46

（七）几何应用46

经典题型与方法技巧48

一、导数与微分48

题型1——导数概念的直接应用48

题型2——导数的计算52

题型3——高阶导数的计算57

题型4——导数与连续的关系60

二、微分中值定理60

题型1——罗尔定理60

题型2——拉格朗日中值定理61

题型3——柯西中值定理63

题型4——泰勒中值定理63

三、简单的应用64

题型1——洛必达法则的应用64

题型2——判断函数的单调性65

题型3——求函数的极值与最值66

题型4——曲线凹凸性、拐点及渐近线67

题型5——方程的根70

题型6——不等式证明71

题型7——几何应用73

本章同步练习题74

一、选择题74

二、填空题75

三、解答题76

同步练习题答案解析77

一、选择题77

二、填空题79

三、解答题81

第三章 一元函数积分学87

学习提要87

考试要求87

读图记考点88

核心知识全解89

一、不定积分89

（一）原函数和不定积分的概念89

（二）不定积分的性质89

（三）不定积分的计算89

二、定积分92

（一）定积分的概念92

（二）定积分的性质93

（三）积分上限的函数94

（四）定积分的计算94

（五）定积分的应用95

三、反常积分97

（一）无穷积分97

（二）瑕积分98

经典题型与方法技巧98

一、不定积分98

题型1——原函数与不定积分的概念及性质98

题型2——不定积分的计算100

二、定积分108

题型1——定积分的概念及性质108

题型2——定积分的计算109

题型3——定积分的应用114

三、反常积分121

题型1——无穷积分121

题型2——瑕积分122

本章同步练习题123

一、选择题123

二、填空题124

三、解答题125

同步练习题答案解析126

一、选择题126

二、填空题128

三、解答题131

第四章 向量代数和空间解析几何①137

学习提要137

考试要求137

读图记考点138

核心知识全解139

一、向量代数139

（一）空间直角坐标系139

（二）向量的相关概念139

（三）向量的运算140

（四）向量的关系141

二、空间平面与直线141

（一）平面方程141

（二）空间直线方程142

（三）平面与直线的位置关系142

（四）平面束方程143

（五）距离公式143

三、曲面与空间曲线144

（一）旋转曲面144

（二）柱面144

（三）球面145

（四）空间曲线145

经典题型与方法技巧146

一、向量代数146

题型1——向量的数量积146

题型2——向量的向量积147

题型3——向量的混合积148

二、空间平面与直线148

题型1——求空间平面与直线方程148

题型2——求位置关系150

题型3——计算空间距离151

三、曲面与空间曲线153

题型1——求柱面方程153

题型2——求旋转曲面方程154

题型3——求投影曲线方程154

本章同步练习题155

一、选择题155

二、填空题156

三、解答题156

同步练习题答案解析156

一、选择题156

二、填空题157

三、解答题159

第五章 多元函数微分学161

学习提要161

考试要求161

读图记考点162

核心知识全解163

一、多元函数的相关概念163

（一）多元函数的概念163

（二）二元函数的几何意义163

（三）二元函数的极限163

（四）二元函数的连续性163

（五）有界闭区域上多元函数的性质163

二、偏导数与全微分164

（一）偏导数164

（二）全微分167

（三）连续、偏导与全微分之间的关系168

三、多元函数微分学的应用168

（一）多元函数极值与最值168

（二）多元函数几何应用（数一）170

（三）方向导数与梯度（数一）170

经典题型与方法技巧171

一、多元函数的相关概念171

题型1——二元函数极限的相关问题171

题型2——二元函数连续性的相关问题172

二、偏导数与全微分173

题型1——复合函数偏导与全微分173

题型2——隐函数偏导与全微分175

题型3——高阶偏导数177

题型4——多元函数连续、偏导与全微分之间的关系178

三、多元函数微分学的应用181

题型1——极值与最值181

题型2——几何应用184

题型3——方向导数与梯度（数一）185

本章同步练习题187

一、选择题187

二、填空题188

三、解答题188

同步练习题答案解析189

一、选择题189

二、填空题190

三、解答题192

第六章 多元函数积分学197

学习提要197

考试要求197

读图记考点198

核心知识全解199

一、二重积分199

（一）二重积分的概念及性质199

（二）二重积分的计算200

（三）二重积分应用（数一）200

二、三重积分（数一）201

（一）三重积分的概念及性质201

（二）三重积分的计算202

（三）三重积分的应用203

三、曲线积分（数一）203

（一）第一类曲线积分203

（二）第二类曲线积分205

（三）两类曲线积分间的关系206

（四）格林公式与路径无关定理206

（五）二元函数的全微分206

四、曲面积分（数一）207

（一）第一类曲面积分207

（二）第二类曲面积分208

（三）两类曲面积分间的关系209

（四）高斯公式与斯托克斯公式209

（五）散度与旋度209

经典题型与方法技巧210

一、二重积分210

题型1——二重积分的概念及性质210

题型2——二重积分的计算211

题型3——二重积分的应用215

二、三重积分（数一）217

题型1——三重积分的概念及性质217

题型2——三重积分的计算217

题型3——三重积分的应用220

三、曲线积分（数一）221

题型1——有关第一类曲线积分的计算问题221

题型2——有关第二类曲线积分的计算问题222

题型3——两类曲线积分之间的关系224

题型4——格林公式与路径无关定理225

题型5——利用二元函数的全微分求积分228

四、曲面积分（数一）229

题型1——有关第一类曲面积分的计算问题229

题型2——有关第二类曲面积分的计算问题230

题型3——两类曲面积分之间的关系232

题型4——斯托克斯公式233

题型5——散度与旋度235

本章同步练习题235

一、选择题235

二、填空题237

三、解答题237

同步练习题答案解析238

一、选择题238

二、填空题240

三、解答题242

第七章 无穷级数①245

学习提要245

考试要求245

读图记考点246

核心知识全解247

一、常数项级数247

（一）数项级数247

（二）正项级数247

（三）交错级数249

（四）常数项级数的性质249

二、幂级数250

（一）幂级数的相关概念及性质250

（二）函数展开成幂级数251

（三）幂级数的运算法则252

三、傅里叶级数252

（一）傅里叶级数概念252

（二）狄利克雷收敛定理253

（三）正弦级数、余弦级数253

经典题型与方法技巧253

一、常数项级数253

题型1——正项级数敛散性判别253

题型2——交错级数敛散性判别258

题型3——任意项级数敛散性判别259

二、幂级数259

题型1——求幂级数的收敛半径、收敛区间或收敛域259

题型2——幂级数展开261

题型3——幂级数求和264

三、傅里叶级数268

题型1——收敛定理及相关问题268

题型2——傅里叶级数展开268

本章同步练习题270

一、选择题270

二、填空题271

三、解答题272

同步练习题答案解析273

一、选择题273

二、填空题276

三、解答题278

第八章 常微分方程283

学习提要283

考试要求283

读图记考点284

核心知识全解285

一、几个基本概念285

（一）微分方程285

（二）微分方程的阶285

（三）常微分方程285

（四）线性微分方程285

（五）微分方程的解、通解285

（六）初始条件、特解285

（七）线性相关、线性无关的概念285

（八）齐次线性方程与非齐次线性方程285

二、一阶微分方程求解286

（一）变量可分离的微分方程286

（二）齐次微分方程286

（三）一阶线性微分方程286

（四）伯努利方程（数一）287

（五）全微分方程（数一）287

（六）可用简单的变量代换求解的某些微分方程（数一）287

三、可降阶的高阶方程求解287

（一）y（n）=f（x）型的微分方程287

（二）y″=f（x，y′）型的微分方程288

（三）y″=f（y，y′）型的微分方程288

四、高阶线性微分方程288

（一）高阶线性微分方程解的性质及解的结构定理288

（二）二阶常系数齐次线性微分方程289

（三）二阶常系数非齐次线性微分方程289

（四）n阶常系数齐次线性微分方程的通解289

五、欧拉方程（数一）290

经典题型与方法技巧290

一、一阶微分方程290

题型1——变量可分离的微分方程290

题型2——齐次方程291

题型3——一阶线性微分方程292

题型4——伯努利方程（数一）294

题型5——全微分方程（数一）294

二、可降阶的高阶微分方程295

题型1——y（n）=f（x）295

题型2——y″ =f（x，y′）295

题型3——y″ =f（y，y′）296

三、高阶线性微分方程297

题型1——二阶常系数齐次线性微分方程297

题型2——二阶常系数非齐次线性微分方程297

题型3——n阶常系数齐次线性微分方程的通解300

四、欧拉方程（数一）301

五、常微分方程的应用302

本章同步练习题303

一、选择题303

二、填空题304

三、解答题304

同步练习题答案解析305

一、选择题305

二、填空题307

三、解答题308