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1.1 问题的数学描述1

第一章 绪论1

1.2 数学模型方法2

1.2.1 数学模型的用途2

1.2.2 数学模型的分类3

1.2.3 机理模型化方法的原则步骤4

1.3 本书的内容架构4

2.1 变量可分离的微分方程6

2.1.1 概念和定义6

第二章 常微分方程6

2.1.2 分离变量法7

2.2 线性微分方程8

2.2.1 一阶线性微分方程8

2.2.2 特殊类型的一阶线性微分方程15

2.3 高阶微分方程17

2.3.1 线性微分方程解的结构18

2.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的余函数20

2.3.3 n阶常系数齐次线性微分方程的余函数21

2.3.4 常系数非齐次线性微分方程的特解22

2.3.5 特殊类型变系数方程的解法29

2.4 微分方程的级数解42

2.4.1 幂级数43

2.4.2 傅里叶级数47

练习题50

参考文献51

第三章 复变函数概述52

3.1 复数的代数运算52

3.1.1 复数的表示法52

3.1.2 复数的运算54

3.2.1 复变函数的基本概念59

3.2 复变函数59

3.2.2 基本超越函数62

3.2.3 复变函数的导数66

3.3 解析函数68

3.3.1 解析函数的基本概念68

3.3.2 解析函数和调和函数70

3.4 复变函数积分和柯西定理72

3.4.1 复变函数的积分72

3.4.2 柯西积分定理72

3.5.1 泰勒级数77

3.5 泰勒级数和罗朗级数77

3.5.2 罗朗级数78

3.6 留数理论82

3.6.1 留数的定义和计算82

3.6.2 计算极点的留数83

3.6.3 应用留数定理计算实变函数的积分85

练习题92

参考文献93

4.1.1 矢量函数的基本概念94

4.1 矢量函数94

第四章 矢量分析与场论94

4.1.2 矢量函数的导数和积分96

4.2 数量场与矢量场100

4.2.1 数量场100

4.2.2 矢量场104

4.2.3 正交曲线坐标系中梯度、散度和旋度113

4.3 二阶张量117

4.3.1 张量的概念117

4.3.2 张量的代数运算124

4.3.3 矢量场的梯度与张量场的散度126

4.4 化学工程中常用的矢量场130

4.4.1 无旋场（有势场）131

4.4.2 无源场（管形场）132

4.4.3 调和场133

4.4.4 格林公式138

4.5 场论在化学工程中的应用138

4.5.1 描述流体运动的两种方法138

4.5.2 物理量的质点导数145

4.5.3 化工系统中数理模型的建立147

4.5.4 场论在化学工程中的应用150

练习题158

参考文献160

第五章 积分变换161

5.1 概述161

5.2 傅里叶变换163

5.2.1 傅里叶积分163

5.2.2 傅里叶变换的定义和δ函数167

5.2.3 傅里叶变换的性质171

5.2.4 多维傅里叶变换174

5.3 拉普拉斯变换179

5.3.1 拉普拉斯变换的性质180

5.3.2 拉普拉斯逆变换188

5.3.3 拉普拉斯变换的应用195

练习题204

参考文献205

第六章 偏微分方程与特殊函数206

6.1 方程的分类及一般性问题206

6.1.1 偏微分方程的分类206

6.1.2 定解条件和定解问题210

6.2.1 波动方程218

6.2 典型偏微分方程的建立218

6.2.2 输运方程222

6.2.3 稳态方程226

6.3 分离变量法228

6.3.1 用傅里叶展开分离变量228

6.3.2 斯图姆－刘维尔型方程的本征值问题233

6.3.3 齐次偏微分方程的分离变量法236

6.4 非齐次线性偏微分方程和非齐次边界条件244

6.4.1 非齐次偏微分方程244

6.4.2 非齐次边界条件的处理250

6.5.1 柱贝塞尔方程的引出256

6.5 柱坐标系中的分离变量法256

6.5.2 柱贝塞尔方程的解259

6.5.3 柱贝塞尔函数的性质265

6.5.4 柱贝塞尔方程及其解的一般形式272

6.5.5 柱贝塞尔函数应用举例273

6.6 球坐标系中的分离变量法280

6.6.1 勒让德方程的引出280

6.6.2 勒让德方程的解284

6.6.3 勒让德多项式和傅里叶－勒让德级数287

6.6.4 关联勒让德函数与一般球函数291

6.6.5 球贝塞尔方程296

6.6.6 勒让德函数的应用举例298

练习题304

参考文献305

第七章 点源法306

7.1 δ函数306

7.2 冲量定理及其应用311

7.3 波动方程和输运方程的格林函数法315

7.3.1 波动方程的格林函数法316

7.3.2 输运方程的格林函数法318

7.4.1 泊松方程的格林函数320

7.4 泊松方程和拉普拉斯方程的格林函数法320

7.4.2 格林函数的性质324

7.4.3 泊松方程的积分公式325

7.4.4 拉普拉斯方程的积分公式327

练习题331

参考文献331

第八章 无界空间的定解问题332

8.1 齐次波动方程的行波法332

8.1.1 一维波动方程的达朗伯公式332

8.1.2 三维波动方程的泊松公式336

8.1.3 二维波动方程的柱面波339

8.2 非齐次方程的点源法340

8.2.1 无界空间的泊松方程340

8.2.2 无界空间的非齐次输运方程341

8.2.3 无界空间的非齐次波动方程的推迟势342

练习题344

参考文献345

第九章 变分法346

9.1 变分法的基本问题和泛函的变分346

9.1.1 古典变分问题举例346

9.1.2 泛函的基本概念348

9.1.3 泛函的极值和欧拉方程352

9.1.4 泛函的条件极值361

9.2 变分问题的直接法——里茨法368

9.3 变分法在化学工程中的应用375

9.3.1 最小作用原理及其应用375

9.3.2 变分法在本征值问题中的应用378

练习题385

参考文献386

10.1.1 差分法的基本概念387

10.1 差分法概念和基本差分格式387

第十章 偏微分方程的差分法387

10.1.2 基本差分格式392

10.2 差分方程的稳定性404

练习题409

参考文献411

附录一412

拉普拉斯变换表1412

拉普拉斯变换表2414

附录二416

练习题答案416