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第一章 线性方程组、矩阵、行初等变换和行列式1

1.1 线性方程组和消元法1

1.1.1 线性方程组1

1.1.2 高斯消元法回顾2

1.2 线性方程组的矩阵表达和行初等变换5

1.3 矩阵的秩和线性方程组解的定理11

1.4 线性方程组解的公式和行列式的定义13

1.4.1 二元线性方程组和三元线性方程组的解公式13

1.4.2 n阶方阵行列式的定义与克莱默法则15

1.5 与行列式相关问题的进一步说明18

1.5.1 行列式的其他等价定义18

1.5.2 行列式按行（列）展开19

1.5.3 行列式的性质20

1.5.4 克莱默法则的证明26

1.5.5 矩阵秩的等价定义27

1.6 习题29

第二章 矩阵加法、向量空间31

2.1 向量和矩阵的线性运算31

2.2 向量空间（一）32

2.3 向量组的线性相关性34

2.3.1 向量的线性表示与线性方程组34

2.3.2 向量组的线性相关与线性无关37

2.3.3 最大无关组和向量组的秩40

2.4 向量空间（二）42

2.5 线性方程组解的向量表达45

2.5.1 齐次线性方程组的解空间45

2.5.2 非齐次线性方程组的解向量47

2.6 习题49

第三章 矩阵乘法和初等矩阵的应用51

3.1 线性变换、矩阵乘法和可逆矩阵51

3.1.1 线性变换和矩阵乘法51

3.1.2 可逆矩阵54

3.2 初等矩阵及其应用57

3.2.1 初等变换与初等矩阵57

3.2.2 矩阵的分解与标准型59

3.2.3 乘积矩阵的行列式60

3.2.4 矩阵的可逆性62

3.2.5 伴随矩阵与逆矩阵公式62

3.3 向量空间（三）65

3.3.1 向量的坐标表达65

3.3.2 基变换与坐标变换65

3.4 习题67

第四章 相似矩阵和方阵的对角化70

4.1 乘方、指数运算70

4.2 相似矩阵72

4.3 特征值和特征向量73

4.4 习题78

第五章 内积空间、厄密矩阵和合同变换80

5.1 向量的内积、长度及正交性80

5.2 厄密矩阵的对角化85

5.3 二次型与合同变换87

5.4 习题89

第六章 傅里叶级数和傅里叶积分91

6.1 逐点收敛、平均收敛和函数空间91

6.1.1 向量空间与函数空间91

6.1.2 朗斯基行列式与函数的线性相关92

6.1.3 逐点收敛与平均收敛92

6.2 傅里叶级数定理93

6.2.1 三角函数形式的傅里叶级数93

6.2.2 复函数形式的傅里叶级数98

6.3 傅里叶变换99

6.3.1 复函数形式的傅里叶变换99

6.3.2 傅里叶正弦变换与余弦变换104

6.3.3 多重傅里叶变换104

6.4 狄拉克δ函数105

6.4.1 狄拉克δ函数的引入105

6.4.2 δ函数及其导数的运算107

6.4.3 高维空间的δ函数110

6.5 习题110

第七章 常微分方程和本征值问题113

7.1 几种简单的常微分方程的解法回顾113

7.1.1 一阶线性常微分方程113

7.1.2 常系数齐次常微分方程114

7.1.3 欧拉型齐次常微分方程116

7.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法116

7.2.1 常点、奇点和正则奇点、级数解法概述116

7.2.2 常点附近的级数解法和勒让德方程的解118

7.2.3 正则奇点附近的级数解法和贝塞尔方程的求解120

7.3 二阶线性非齐次常微分方程123

7.3.1 齐次方程的通解124

7.3.2 非齐次方程的通解124

7.4 斯图姆-刘维尔型本征值问题126

7.4.1 本征值问题的构成127

7.4.2 本征值问题的性质130

7.5 习题133

第八章 数理方程的导出和定解135

8.1 方程的导出135

8.1.1 波动方程135

8.1.2 输运方程140

8.1.3 稳定场方程142

8.2 方程的定解条件143

8.2.1 初始条件143

8.2.2 边界条件143

8.3 线性方程和叠加原理145

8.3.1 线性算符145

8.3.2 线性叠加原理146

8.3.3 求解定解问题的一般步骤146

8.4 习题147

第九章 傅里叶级数法（一）148

9.1 分离变量法初步148

9.1.1 什么是分离变量法148

9.1.2 自由振动方程的求解——分离变量法的简单例子150

9.1.3 分离变量法的主要步骤和应用154

9.2 球坐标系下的分离变量法157

9.3 习题161

第十章 积分变换法164

10.1 一维空间的积分变换法164

10.1.1 自由波动方程164

10.1.2 受迫波动方程168

10.2 三维空间的积分变换法170

10.2.1 自由波动方程170

10.2.2 受迫波动方程171

10.3 习题172

第十一章 复数和复变函数173

11.1 复数173

11.1.1 复数的定义173

11.1.2 复数的表示方法173

11.1.3 复数的运算175

11.2 复变函数177

11.2.1 复平面上的区域177

11.2.2 复变函数的连续和极限177

11.2.3 单值函数与多值函数178

11.2.4 基本初等复变函数180

11.3 习题183

第十二章 微分和解析函数184

12.1 复变函数的微分184

12.1.1 复变函数的导数184

12.1.2 柯西-黎曼条件185

12.1.3 复变函数的微分运算法则186

12.2 解析函数186

12.2.1 解析函数的定义186

12.2.2 解析函数的应用188

12.3 习题191

第十三章 积分和柯西定理192

13.1 复变函数的积分192

13.1.1 复变函数的积分定义192

13.1.2 复变函数积分的性质194

13.2 解析函数的积分194

13.2.1 单通区域和复通区域195

13.2.2 柯西定理195

13.3 柯西公式及推论197

13.4 习题198

第十四章 级数、奇点和解析延拓199

14.1 级数理论中的一般概念199

14.1.1 级数、收敛和绝对收敛199

14.1.2 函数项级数、收敛和一致收敛201

14.2 幂级数理论202

14.2.1 幂级数及收敛半径202

14.2.2 幂级数在收敛圆内的性质204

14.3 解析函数的幂级数展开205

14.3.1 圆域内解析函数的泰勒定理205

14.3.2 环域内的解析函数和洛朗定理206

14.4 孤立奇点的分类和特性209

14.5 解析延拓211

14.5.1 定义和唯一性定理211

14.5.2 解析延拓的方法212

14.5.3 Γ函数的解析延拓213

14.6 习题214

第十五章 留数定理及应用215

15.1 留数定理215

15.2 有限远处孤立奇点留数的求法217

15.3 留数定理的应用218

15.3.1 第一种类型：？R（cos x,sin x）dx218

15.3.2 第二种类型：？f（x）dx和？f（x）eieαxdx219

15.3.3 第三种类型：广义积分的主值222

15.3.4 几个特殊的积分224

15.4 拉普拉斯变换226

15.4.1 拉普拉斯变换226

15.4.2 梅林反演公式227

15.5 习题229

第十六章 傅里叶级数法（二）230

16.1 两端固定的弦的受迫振动问题——本征函数法的简单例子230

16.2 球坐标系下的泊松方程、波动方程和定态薛定谔方程234

16.2.1 泊松方程235

16.2.2 波动方程235

16.2.3 薛定谔方程237

16.3 非齐次边界条件的齐次化237

16.4 习题242

第十七章 勒让德函数和球谐函数243

17.1 勒让德函数及其重要性质243

17.2 缔合勒让德函数及其重要性质256

17.3 球谐函数及其性质258

17.4 习题259

第十八章 贝塞尔函数261

18.1 贝塞尔方程的出现261

18.2 贝塞尔函数及其主要性质262

18.3 虚宗量贝塞尔函数265

18.4 贝塞尔方程的本征值问题266

18.5 球贝塞尔方程269

18.5.1 球贝塞尔方程的出现269

18.5.2 球贝塞尔方程的求解270

18.6 习题271

第十九章 非齐次问题和格林函数法272

19.1 泊松方程的格林函数定解问题的构造272

19.1.1 无界泊松方程问题的格林函数272

19.1.2 有界问题泊松方程的格林函数273

19.1.3 与泊松方程相应的格林函数的对称性的证明276

19.2 泊松方程的格林函数定解问题的求解276

19.2.1 一般问题解法的讨论276

19.2.2 一类特殊问题的解法——镜像法277

19.3 伴随算符和推广的格林公式279

19.4 含时问题的格林函数法281

19.4.1 波动问题281

19.4.2 输运问题283

19.4.3 相关格林函数性质的证明285

19.5 习题286

附录A 排列的奇偶性288

附录B 缔合勒让德方程的求解290

附录C 正交曲线坐标系和直角坐标系的变换292