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第1章 绪论1

1.1数值模拟1

1.1.1建模过程2

1.1.2验证4

1.1.3离散化5

1.1.4校核6

1.1.5决策6

1.2为什么数值分析的准确性如此重要8

1.2.1设计准则的应用8

1.2.2设计规范的制定9

1.3本章总结10

第2章 有限元法概述12

2.1一维数学模型12

2.1.1弹性杆12

2.1.2数学模型的校核17

2.1.3数学模型的验证19

2.1.4一维标量椭圆边界值问题20

2.2近似解20

2.3一维通用公式23

2.3.1 Dirichlet边界条件25

2.3.2 Neumann边界条件26

2.3.3 Robin边界条件26

2.4有限元近似求解27

2.4.1误差计算和范数29

2.4.2能量范数的近似误差31

2.5一维有限元法31

2.5.1标准单元31

2.5.2标准的多项式空间32

2.5.3有限元空间34

2.5.4系数矩阵的计算35

2.5.5方程右边向量的计算37

2.5.6矩阵装配39

2.5.7位移边界条件的处理42

2.5.8求解44

2.5.9快速求解的过程45

2.6通用方程的性质48

2.6.1唯一性48

2.6.2势能49

2.6.3能量范数误差49

2.6.4连续性49

2.6.5能量范数的收敛性50

2.7基于外推法的误差估计52

2.8提取法54

2.9练习55

2.10本章总结56

第3章 数学模型表达式57

3.1符号记法57

3.2热传导58

3.2.1微分方程59

3.2.2边界条件和初始条件60

3.2.3对称性、反对称性以及周期性61

3.2.4降维61

3.3标量椭圆边值问题66

3.4线弹性67

3.4.1 Navier（纳维）方程70

3.4.2边界条件和初始条件70

3.4.3对称性、反对称性和周期性71

3.4.4降低维数72

3.5不可压弹性材料75

3.6 Stokes（斯托克斯）流76

3.7数学模型的层次化76

3.8本章总结77

第4章 广义公式78

4.1标量椭圆问题78

4.1.1连续性79

4.1.2存在性80

4.1.3有限元问题的公式表示80

4.2虚功原理82

4.3弹塑性问题84

4.3.1唯一性85

4.3.2最小势能原理91

4.4弹性动力学模型96

4.5不可压材料101

4.5.1鞍点问题102

4.5.2泊松比锁定102

4.5.3可求解性102

4.6本章总结103

第5章 有限元空间104

5.1二维标准单元104

5.2标准多项式空间105

5.2.1树形空间105

5.2.2乘积空间105

5.3形函数106

5.3.1 Lagrange形函数106

5.3.2分级形函数108

5.4二维情况下的映射函数109

5.4.1等参映射109

5.4.2基于混合函数法的映射111

5.4.3高价单元映射113

5.4.4刚体转动113

5.5三维情况下的单元113

5.6积分和微分114

5.6.1体积分和面积分115

5.6.2面积分和围线积分116

5.6.3微分116

5.7刚度矩阵和载荷向量117

5.7.1刚度矩阵117

5.7.2载荷矢量118

5.8本章总结119

第6章 一致性与收敛速度120

6.1规律性120

6.2分类123

6.3奇异点邻域124

6.3.1 Laplace方程125

6.3.2 Navier方程126

6.3.3材料界面132

6.3.4作用于边界上的施力函数133

6.3.5强奇异点和弱奇异点139

6.4收敛速度140

6.4.1有限元空间的选择142

6.4.2先验信息的使用147

6.4.3能量范数的后验估计误差152

6.4.4自适应反馈法154

6.5本章总结155

第7章 计算和校核157

7.1解及其一阶导数的计算157

7.2节点力158

7.2.1 h型有限元中的节点力158

7.2.2 p型有限元中的节点力160

7.2.3节点力和应力合力161

7.3计算数据的校核162

7.4通量和应力强度因子167

7.4.1 Laplace方程167

7.4.2平面弹性问题169

7.5本章总结171

第8章 计算内容及原因173

8.1基本假设173

8.2概念：损伤累积驱动173

8.3金属疲劳经典模型175

8.3.1损伤累积模型177

8.3.2切口灵敏度180

8.3.3临界距离理论181

8.4线弹性断裂力学182

8.5临界距离的存在性184

8.6损伤累积的驱动力185

8.7循环计数186

8.8校核187

8.9本章总结188

第9章 梁、板和壳190

9.1梁190

9.1.1 Timoshenko梁191

9.1.2 Bernoulli-Euler梁195

9.2板199

9.2.1 Reissner-Mindlin（莱斯纳-明德林）板201

9.2.2 Kirchhoff板（基尔霍夫）203

9.2.3强制C1连续性—HCT单元205

9.3壳206

9.4橡树山试验209

9.4.1试验描述209

9.4.2概念化210

9.4.3校核211

9.4.4验证：预测数据与观测数据的比较212

9.4.5讨论214

9.5本章总结215

第10章 非线性模型216

10.1热传导216

10.1.1辐射216

10.1.2非线性材料属性216

10.2固体力学217

10.2.1大应变和旋转217

10.2.2结构稳定性和应力强化219

10.2.3塑性力学222

10.2.4机械接触225

10.3本章总结227

附录A228

A.1范数与半范数228

A.2赋范线性空间228

A.3线性泛函229

A.4双线性形式229

A.5收敛性229

A.6 Legendre多项式229

A.7解析函数230

A.7.1 R2上的解析函数230

A.7.2 R2上的解析曲线230

A.8 Schwarz积分不等式231

附录B数值积分232

B.1 Gauss积分232

B.2 Gauss-Lobatto积分233

附录C应力张量的性质235

C.1应力矢量235

C.2主应力236

C.3矢量变换236

C.4应力变换237

附录D应力强度因子计算239

D.1回路积分法239

D.2能量释放率240

D.2.1对称载荷（Ⅰ型）240

D.2.2反对称载荷（Ⅱ型）241

D.2.3混合载荷（Ⅰ型和Ⅱ型）242

D.2.4刚度微分法242

附录E Saint Venant原理243

E.1.Laplace方程的Green函数243

E.2.模型问题243

附录F 练习答案选248

参考文献254