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1.集合和映射1

1.1 集合1

集合概念1

集合的运算3

笛卡儿乘积集合6

1.2 映射7

映射概念7

一一对应9

1.3 一元实函数11

函数概念11

函数的几何特性16

函数延拓19

1.4 复合函数和反函数22

复合函数22

反函数23

基本初等函数26

2.极限和连续33

2.1 实数系的基本结构33

实数的运算规则33

实数的大小关系34

实数连续统35

2.2 数集的上(下)确界39

有界数集39

上确界和下确界41

有界数集的上(下)确界定理43

2.3 数列极限46

数列极限定义46

数列极限的性质51

数列极限的四则运算55

单调有界数列60

无穷大量64

2.4 函数极限69

函数极限的定义70

函数极限的性质73

函数极限的四则运算77

单侧极限78

函数在无限远点的极限80

函数值趋于无限的渐近性态82

渐近线86

2.5 连续函数90

函数在一点连续的概念90

连续函数的四则运算93

不连续点类型97

无穷小量的阶100

3.实数系和连续函数的基本定理107

3.1 实数系的基本定理107

区间套定理107

波尔查诺-韦尔斯特拉斯定理109

3.2 闭区间上连续函数的性质112

有界性定理112

最大(小)值定理113

零点存在定理115

中间值定理117

一致连续概念117

康托尔定理120

4.导数123

4.1 导数定义123

导数概念123

几个初等函数的导数公式127

4.2 求导法则131

导数的四则运算131

反函数的导数135

复合函数求导的链式法则138

4.3 不可导情况144

4.4 微分149

微分概念149

微分公式152

一阶微分的形式不变性154

4.5 高阶导数和高阶微分159

高阶导数概念159

高阶导数的计算162

高阶微分166

5.微分中值定理和它的应用170

5.1 中值定理170

费尔玛定理170

罗尔定理和拉格朗日中值定理171

柯西中值定理175

5.2 泰勒公式178

5.3 洛必达法则185

5.4 函数的单调性，极值，凸性191

函数的单调性191

函数的极值193

函数的最大值和最小值196

函数的凸性200

5.5 函数方程的牛顿方法208

6.不定积分211

6.1 不定积分的概念和运算法则211

不定积分的概念211

运算法则215

6.2 不定积分的换元法216

6.3 不定积分的分部积分法221

6.4 有理函数的积分法227

6.5 其他类型的不定积分233

形如？R(x,?)dx的积分233

形如？R(cosx,sinx)dx的积分235

7.定积分239

7.1 定积分的概念239

定积分的引进239

上和与下和241

上积分、下积分、定积分243

可积条件244

7.2 可积函数类246

7.3 定积分的基本性质249

基本性质249

定积分两种定义的等价性257

7.4 微积分的基本定理263

基本定理263

定积分的换元法266

定积分的分部积分法267

7.5 平面图形的面积273

7.6 曲线的弧长277

弧长、弧长公式和弧长的微分278

平面曲线的曲率282

7.7 旋转体的体积和侧面积285

截面积已知的体积公式285

旋转体的体积公式286

旋转体的侧面积公式287

7.8 在物理上的一些应用291

质量292

重心292

功294

7.9 数值积分297

矩形公式297

梯形公式297

抛物线公式298

欧勒-麦克劳林求和公式300

余项估计303

8.实数系的完备性308

8.1 收敛准则308

柯西收敛准则309

实数系的完备性311

8.2 紧集313

紧集的概念313

海涅-波莱尔定理314

9.数项级数319

9.1 数列的上极限和下极限319

9.2 级数的收敛与发散323

9.3 正项级数329

9.4 任意项级数336

绝对收敛和条件收敛336

9.5 绝对收敛级数的性质344

9.6 无穷乘积351

10.反常积分357

10.1 无穷限反常积分的收敛概念357

10.2 无穷限反常积分的收敛判别法361

比较判别法361

积分第二中值定理364

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法366

10.3 无界函数的反常积分370

10.4 反常积分的计算.柯西主值376