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偏微分方程与计算机介绍1

1 有关偏微分方程分类的注记1

2 方程组和单个方程7

3 数字计算系统的性质8

3.1 台式计算8

3.2 穿孔卡片计算机10

3.3 自动数字计算机10

3.4 偏微分方程提出的要求13

4.1 utt-uxx=0 的最简单初值问题的解16

4 方程 utt-uxx=0 的有限差分近似16

1.二个自变量的双曲型方程16

4.2 一个近似的差分方程17

4.3 λ＜1时差分方程的显式解20

4.4 用有限 Fourier 级数表示差分方程的解25

4.5 向微分问题的解的收敛性26

4.6 稳定性28

5 稳定性概念的进一步说明31

5.1 定义与简单的例子31

5.2 对波动方程的应用38

6.1 正规形式41

6 双曲型微分方程组及其特征线41

6.2 例44

6.3 n=2时的典型微分方程组46

6.4 关于初值问题的注48

7 拟线性双曲型方程组的有限差分方法53

7.1 方法的叙述53

7.2 证明差分近似收敛性的一个一般方法58

7.3 双曲型组的差分格式的收敛性62

7.4 在曲线网内的差分66

7.5 舍入误差68

8.1 Massau 方法69

8 沿特征线的积分法69

8.2 二阶的拟线性方程71

8.3 对于 n 个因变数的另一积分方法72

9 用 Adams 方法的积分法74

10 激波78

10.1 激波的概念78

10.2 含有激波的问题的数值解80

10.3 用模拟的粘性项来计算激波波阵面84

10.4 粘滞流的真实方程的积分法89

10.5 Lax 的差分方法92

2.抛物型方程95

11 最简单的热流动问题95

11.1 绪言95

11.2 初值问题的解96

12 最简单的有限差分近似99

12.1 稳定性条件99

12.2 收敛性与离散化误差103

13 在有限区间内的线性问题107

13.1 微分问题107

13.2 一个有限差分近似108

13.3 一个隐式方法110

13.4 隐式差分方程的解112

13.5 隐式方法的收敛性114

14 更一般的二个变数的线性抛物型问题：显式方法117

14.1 显式的形式差分近似117

14.2 用迭加法解非齐次线性差分问题118

14.3 正型差分式的有界性与稳定性121

14.4 John 的有界性条件124

15 线性问题的其他显式与隐式方法130

15.1 对隐式方法的一个更一般的处理130

15.2 用二条以上格线的显式方法136

15.3 高阶的问题143

16 收敛性的其他定义.Lax 与 Richtmyer 的理论146

16.1 关于泛函分析的注记146

16.2 在 Lax 与 Richtmyer 意义下的收敛性与稳定性147

17 非线性问题150

17.1 半线性方程150

17.2 其他抛物型问题的例子152

3.椭圆型方程160

18 含有椭圆型偏微分方程的一些数值问题160

18.1 一般的 Laplace 边值问题161

18.2 排水问题162

18.3 石油流动问题164

18.4 应力问题167

18.5 边界层问题168

18.6 薄膜的特征值问题169

18.7 简单的核反应堆问题170

18.8 双调和特征值问题172

18.9 Plateau 问题172

18.10 波动方程的特征值问题173

19 从椭圆型偏微分方程论中选取的结果173

19.1 变分公式174

19.2 某些特征值问题的变分公式180

19.3 自伴性182

19.4 交接面条件186

19.5 最大模原理190

20 椭圆型差分方程问题的形成191

20.1 离散化及由此产生的问题191

20.2 直线法194

20.3 要离散化的问题的类型195

20.4 不规则网格195

20.5 建立差分方程的变分方法199

20.6 正方形网格：导数的逼近202

20.7 正方形网格：L(u) 和 ?u 的逼近208

20.8 应用变分方法于核扩散方程215

20.9 Dirichlet 边值条件的处理218

20.10 法向导数边值条件222

20.11 奇点和自由边界224

21 解椭圆型差分方程的古典理论225

21.1 差分方程作为矩阵方程225

21.2 消去法229

21.3 迭代法235

21.4 同时位移法；斜量法242

21.5 Richardson 方法249

21.6 逐个位移法259

21.7 Gauss-Southwell 松弛266

22 显式和隐式超松弛法268

22.1 逐个超松弛法的 Young-Frankel 理论268

22.2 没有性质(A)的超松弛287

22.3 隐式方法：线超松弛295

22.4 隐式交替方向法300

22.5 正方形区域收敛速度的总结313

23.1 Gerschgorin 方法314

23 离散化和舍入误差314

23.2 一个带有 Stieltjes 核的积分方程320

23.3 积分方程的解的一个估计327

23.4 离散化误差的估计329

23.5 关于线性 Dirichlet 问题的离散化误差的某些进一步结果摘要340

23.6 离散的 Dirichlet 问题的 Green 函数348

23.7 关于 Neumann 问题和第三边值问题的离散化误差353

23.8 解 Dirichlet 差分问题中的舍入误差354

23.9 舍入误差的概率估计361

24.1 引言365

24 薄膜的特征值问题365

24.2 用差分方法得到的上界367

24.3 标准 L 形薄膜371

24.4 用差分方程得到的下界：Weinberger 方法373

24.5 用差分方程得到的渐近下界377

24.6 定理24.7的证明382

24.7 用 L 形薄膜的试验391

24.8 有限特征值问题的数值解法393

25.1 在数字计算机上得到方程398

25 在自动数字计算机上解椭圆型偏差分方程398

25.2 当 C 为曲线时得到差分方程402

25.3 一个求积的服务性程序的计划405

25.4 等级网格的使用406

25.5 逐个超松弛：ω的估计410

25.6 逐个超松弛：需要的时间416

25.7 解差分方程的其他方法418

25.8 在计算机上解特征值问题419

25.9 在计算机上解 Neumann 问题420

26 波动方程421

26.1 微分方程421

4.含多于两个自变量的初值问题421

26.2 最简单的差分近似424

27 多维情形的特征426

28 一个气象预报问题429

28.1 直接从原始方程组预报431

28.2 预报方法的修改432

28.3 一维模型434

28.4 二维模型436

28.5 “逆风”差分方程442

29.1 问题445

29 关于差分方程和微分方程的 Fourier 方法的一般讨论445

28.6 三个空间维445

29.2 用 Fourier 级数求显式解449

29.3 U(x，t)向 u(x，t)的收敛性451

29.4 稳定性454

29.5 怎样检验稳定性和收敛性455

30 Peaceman-Rachford 方法458

30.1 一般的描述458

30.2 对二维热流方程的应用459

参考文献461

索引479