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第1章 素数（1）1

1.1 整除性1

1.2 素数2

1.3 算术基本定理的表述3

1.4 素数序列3

1.5 关于素数的某些问题5

1.6 若干记号6

1.7 对数函数8

1.8 素数定理的表述8

本章附注10

第2章 素数（2）12

2.1 Euclid第二定理的第一个证明12

2.2 Euclid方法的更进一步的推论12

2.3 某种算术级数中的素数13

2.4 Euclid定理的第二个证明14

2.5 Fermat数和Mersenne数15

2.6 Euclid定理的第三个证明16

2.7 关于素数公式的进一步结果17

2.8 关于素数的未解决的问题19

2.9 整数模19

2.10 算术基本定理的证明21

2.11 基本定理的另一个证明21

本章附注21

第3章 Farey数列和Minkowski定理24

3.1 Farey数列的定义和最简单的性质24

3.2 两个特征性质的等价性25

3.3 定理28和定理29的第一个证明25

3.4 定理28和定理29的第二个证明26

3.5 整数格点27

3.6 基本格的某些简单性质28

3.7 定理28和定理29的第三个证明29

3.8 连续统的Farey分割30

3.9 Minkowski的一个定理31

3.10 Minkowski定理的证明32

3.11 定理37的进一步拓展34

本章附注36

第4章 无理数38

4.1 概论38

4.2 已知的无理数38

4.3 Pythagoras定理及其推广39

4.4 基本定理在定理43～45证明中的应用41

4.5 历史杂谈41

4.6 ？5无理性的几何证明43

4.7 更多的无理数44

本章附注46

第5章 同余和剩余47

5.1 最大公约数和最小公倍数47

5.2 同余和剩余类48

5.3 同余式的初等性质49

5.4 线性同余式49

5.5 Euler函数φ（m）51

5.6 定理59和定理61对三角和的应用53

5.7 一个一般性的原理56

5.8 正十七边形的构造57

本章附注61

第6章 Fermat定理及其推论63

6.1 Fermat定理63

6.2 二项系数的某些性质63

6.3 定理72的第二个证明65

6.4 定理22的证明66

6.5 二次剩余67

6.6 定理79的特例：Wilson定理68

6.7 二次剩余和非剩余的初等性质69

6.8 a（mod m）的阶71

6.9 Fermat定理的逆定理71

6.10 2p-1-1能否被p2整除73

6.11 Gauss引理和2的二次特征73

6.12 二次互倒律76

6.13 二次互倒律的证明78

6.14 素数的判定79

6.15 Mersenne数的因子；Euler的一个定理80

本章附注81

第7章 同余式的一般性质83

7.1 同余式的根83

7.2 整多项式和恒等同余式83

7.3 多项式（mod m）的整除性84

7.4 素数模同余式的根85

7.5 一般定理的某些应用86

7.6 Fermat定理和Wilson定理的Lagrange证明88

7.7 [1/2(p-1)]！的剩余89

7.8 Wolstenholme的一个定理90

7.9 von Staudt定理92

7.10 von Staudt定理的证明93

本章附注95

第8章 复合模的同余式96

8.1 线性同余式96

8.2 高次同余式98

8.3 素数幂模的同余式98

8.4 例子99

8.5 Bauer的恒等同余式101

8.6 Bauer的同余式：p=2的情形102

8.7 Leudesdorf的一个定理103

8.8 Bauer定理的进一步的推论105

8.9 2p-1和（p-1）！关于模p2的同余式107

本章附注109

第9章 用十进制小数表示数110

9.1 与给定的数相伴的十进制小数110

9.2 有限小数和循环小数112

9.3 用其他进位制表示数114

9.4 用小数定义无理数115

9.5 整除性判别法116

9.6 有最大周期的十进制小数117

9.7 Bachet的称重问题118

9.8 Nim博弈120

9.9 缺失数字的整数122

9.10 测度为零的集合123

9.11 缺失数字的十进制小数124

9.12 正规数126

9.13 几乎所有的数都是正规数的证明127

本章附注130

第10章 连分数132

10.1 有限连分数132

10.2 连分数的渐近分数133

10.3 有正的商的连分数134

10.4 简单连分数135

10.5 用简单连分数表示不可约有理分数136

10.6 连分数算法和Euclid算法138

10.7 连分数与其渐近分数的差140

10.8 无限简单连分数141

10.9 用无限连分数表示无理数142

10.10 一个引理144

10.11 等价的数145

10.12 周期连分数147

10.13 某些特殊的二次根式149

10.14 Fibonacci数列和Lucas数列151

10.15 用渐近分数作逼近154

本章附注157

第11章 用有理数逼近无理数158

11.1 问题的表述158

11.2 问题的推广159

11.3 Dirichlet的一个论证方法160

11.4 逼近的阶161

11.5 代数数和超越数162

11.6 超越数的存在性163

11.7 Liouville定理和超越数的构造164

11.8 对任意无理数的最佳逼近的度量166

11.9 有关连分数的渐近分数的另一个定理168

11.10 具有有界商的连分数169

11.11 有关逼近的进一步定理172

11.12 联立逼近173

11.13 e的超越性174

11.14 π的超越性177

本章附注180

第12章 k(1),k(i),k（p）中的算术基本定理182

12.1 代数数和代数整数182

12.2 有理整数、Gauss整数和k（p）中的整数182

12.3 Euclid算法183

12.4 Euclid算法对k（1）中的基本定理的应用184

12.5 关于Euclid算法和基本定理的历史注释185

12.6 Gauss整数的性质186

12.7 k（i）中的素元187

12.8 k（i）中的算术基本定理189

12.9 k（p）中的整数191

本章附注193

第13章 某些Diophantus方程194

13.1 Fermat大定理194

13.2 方程x2+y2=z2194

13.3 方程x4+y4=z4195

13.4 方程x3+y3=z3196

13.5 方程x3+y3=3z3199

13.6 用有理数的三次幂之和表示有理数201

13.7 方程x3+y3+z3=t3203

本章附注205

第14章 二次域（1）208

14.1 代数数域208

14.2 代数数和代数整数；本原多项式209

14.3 一般的二次域k（？m）210

14.4 单位和素元211

14.5 k（？2）中的单位212

14.6 基本定理不成立的数域214

14.7 复Euclid域215

14.8 实Euclid域217

14.9 实Euclid域（续）219

本章附注220

第15章 二次域（2）222

15.1 k（i）中的素元222

15.2 k（i）中的Fermat定理223

15.3 k（p）中的素元224

15.4 k（？2）和k（？5）中的素元225

15.5 Mersenne数M4n+3的素性的Lucas判别法227

15.6 关于二次域的算术的一般性注释229

15.7 二次域中的理想230

15.8 其他的域233

本章附注234

第16章 算术函数φ（n），μ（n），d（n），σ（n），r（n）235

16.1 函数φ（n）235

16.2 定理63的进一步证明236

16.3 M？bius函数236

16.4 M？bius反转公式237

16.5 进一步的反转公式238

16.6 Ramanujan和的估计239

16.7 函数d（n）和σk（n）241

16.8 完全数241

16.9 函数r（n）242

16.10 r（n）公式的证明244

本章附注245

第17章 算术函数的生成函数246

17.1 由Dirichlet级数生成算术函数246

17.2 ζ函数247

17.3 ζ（s）在s→1时的性状248

17.4 Dirichlet级数的乘法249

17.5 某些特殊算术函数的生成函数251

17.6 M？bius公式的解析说明253

17.7 函数A（n）255

17.8 生成函数的进一步的例子257

17.9 r（n）的生成函数258

17.10 其他类型的生成函数259

本章附注261

第18章 算术函数的阶263

18.1 d（n）的阶263

18.2 d（n）的平均阶266

18.3 σ（n）的阶268

18.4 φ（n）的阶269

18.5 φ（n）的平均阶271

18.6 无平方因子数的个数272

18.7 r（n）的阶273

本章附注274

第19章 分划276

19.1 加性算术的一般问题276

19.2 数的分划276

19.3 p（n）的生成函数277

19.4 其他的生成函数279

19.5 Euler的两个定理280

19.6 进一步的代数恒等式282

19.7 F（x）的另一个公式283

19.8 Jacobi的一个定理284

19.9 Jacobi恒等式的特例286

19.10 定理353的应用288

19.11 定理358的初等证明288

19.12 p（n）的同余性质290

19.13 Rogers-Ramanujan恒等式292

19.14 定理362和定理363的证明294

19.15 Ramanujan连分数296

本章附注297

第20章 用两个或四个平方和表示数300

20.1 Waring问题：数g（k）和G（k）300

20.2 平方和301

20.3 定理366的第二个证明302

20.4 定理366的第三个和第四个证明303

20.5 四平方定理304

20.6 四元数306

20.7 关于整四元数的预备定理308

20.8 两个四元数的最高右公因子309

20.9 素四元数和定理370的证明310

20.10 g（2）和G（2）的值312

20.11 定理369的第三个证明的引理312

20.12 定理369的第三个证明：表法个数313

20.13 用多个平方和表示数316

本章附注317

第21章 用立方数以及更高次幂表示数320

21.1 四次幂320

21.2 三次幂：G（3）和g（3）的存在性321

21.3 g（3）的界322

21.4 更高次幂323

21.5 g（k）的一个下界324

21.6 G（k）的下界324

21.7 受符号影响的和：数v(k)327

21.8 v（k）的上界329

21.9 Prouhet-Tarry问题：数P(k,j)330

21.10 对特殊的k和j,P（k,j）的估计332

21.11 Diophantus分析的进一步的问题334

本章附注337

第22章 素数（3）343

22.1 函数？（x）和ψ（x）343

22.2 ？（x）和ψ（x）的阶为x的证明344

22.3 Bertrand假设和一个关于素数的“公式”346

22.4 定理7和定理9的证明348

22.5 两个形式变换349

22.6 一个重要的和350

22.7 ∑p-1与∏（1-p-1）352

22.8 Mertens定理354

22.9 定理323和定理328的证明356

22.10 n的素因子个数357

22.11 ω（n）和Ω（n）的正规阶358

22.12 关于圆整数的一个注解361

22.13 d（n）的正规阶361

22.14 Selberg定理362

22.15 函数R（x）和V（ξ）364

22.16 定理434、定理6和定理8证明的完成367

22.17 定理335的证明369

22.18 k个素因子的乘积370

22.19 区间中的素数372

22.20 关于素数对p,p+2的分布的一个猜想372

本章附注374

第23章 Kronecker定理377

23.1 一维的Kronecker定理377

23.2 一维定理的证明378

23.3 反射光线的问题380

23.4 一般定理的表述382

23.5 定理的两种形式383

23.6 一个例证384

23.7 Lettenmeyer给出的定理的证明385

23.8 Estermann给出的定理的证明386

23.9 Bohr给出的定理的证明388

23.10 一致分布390

本章附注391

第24章 数的几何393

24.1 基本定理的导引和重新表述393

24.2 简单的应用394

24.3 定理448的算术证明396

24.4 最好的可能的不等式397

24.5 关于ξ2+η2的最好可能的不等式398

24.6 关于｜ζη｜的最好可能的不等式400

24.7 关于非齐次型的一个定理401

24.8 定理455的算术证明403

24.9 Tchebotaref定理404

24.10 Minkowski定理（定理446）的逆定理405

本章附注409

第25章 椭圆曲线413

25.1 同余数问题413

25.2 椭圆曲线的加法法则414

25.3 定义椭圆曲线的其他方程418

25.4 有限阶点420

25.5 有理点组成的群424

25.6 关于模p的点群430

25.7 椭圆曲线上的整点430

25.8 椭圆曲线的L-级数433

25.9 有限阶点与模曲线436

25.10 椭圆曲线与Fermat大定理439

本章附注441

参考书目445

附录449

特殊符号以及术语索引452

常见人名对照表455

总索引457

《哈代数论（第6版）》补遗461