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上篇 关于用高观点指导中学数学教学的研究3

第1讲 平面几何中的面积方法3

1.1传统的或常规的面积方法3

1.2张景中的面积方法简介5

1.2.1基本概念、基本命题和基本定理5

1.2.2应用举例7

1.2.3优点分析11

1.2.4教学建议12

习题112

第2讲 用变换群的观点看平面几何14

2.1变换群与几何学14

2.2等距变换（平移、旋转、轴反射）在平面几何解题中的应用方式15

2.3应用等距变换解题举例16

2.3.1平移16

2.3.2旋转21

2.3.3轴反射24

2.4位似变换在解作图题中的应用27

2.4.1位似变换的概念27

2.4.2位似变换在解作图题中的应用方式28

2.4.3应用举例28

2.5变换群观点对平面几何课程改革的指导29

习题231

第3讲 仿射几何观点下的中学几何33

3.1平行投影和仿射变换，图形的仿射性质33

3.2仿射变换和图形的仿射性质在解题中的应用35

3.2.1应用条件和应用模式35

3.2.2应用举例35

3.3仿射坐标系的应用40

3.3.1仿射坐标系40

3.3.2仿射坐标系与直角坐标系中公式的异同40

3.3.3仿射坐标系应用举例42

习题347

第4讲 射影几何观点下的中学几何49

4.1射影变换和射影几何49

4.1.1中心投影49

4.1.2无穷远点和无穷远直线50

4.1.3射影变换和射影几何50

4.1.4点的齐次坐标与曲线的齐次方程51

4.2在拓广平面上解释欧氏平面上的问题54

4.2.1关于两个圆的交点的个数55

4.2.2关于双曲线的“内部”和“外部”55

4.2.3与双曲线的两支都相切的直线存在吗？59

4.2.4抛物线没有平行的切线，为什么？59

4.2.5关于直线与圆锥曲线的交点的个数问题60

4.3图形的三种性质（欧氏度量性质、仿射性质和射影性质）的区分，对教学的指导意义61

4.4射影几何指导平面几何推广一例63

习题465

第5讲 从方法论看解析几何66

5.1哲学家笛卡儿创立了解析几何66

5.1.1笛卡儿致力于寻找在一切领域建立真理的方法66

5.1.2笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行了比较67

5.1.3笛卡儿在《几何》中创立了解析几何67

5.1.4关于笛卡儿的两个小故事69

5.2解析几何方法的实质70

5.3创立解析几何的重要意义71

5.3.1提供了几何研究的一种新方法，促进了几何学的发展71

5.3.2将几何和代数结合起来，推动了数学的发展71

5.3.3提供了科学技术迫切需要的数量工具，促进了科学技术的发展进步72

5.3.4开了“科学杂交”的先河，是对科学方法论的伟大贡献72

5.4关于解析几何方法的两点思考73

5.4.1坐标变换及坐标变换下的不变量在解析几何中的重要地位73

5.4.2解析几何方法的反用76

习题586

下篇 用波利亚数学教育思想指导教学89

第6讲 波利亚数学教育思想简介89

6.1数学教育的基本目标89

6.2波利亚数学教育思想90

6.2.1波利亚对数学教师的10条忠告90

6.2.2对波利亚的数学教育思想的归纳93

6.3波利亚关于解题教学的主张96

6.4波利亚教你怎样解题——介绍波利亚的“怎样解题”表99

第7讲 欧拉的科学研究方法两例103

7.1欧拉公式V-E＋F=2的发现103

7.2哥尼斯堡七桥问题110

第8讲 数学教学改革实践几例118

8.1 MM教育方式改革实验118

8.2大面积提高教学质量——非重点普高数学教改实验121

8.2.1重视非智力因素的开发，增强学习信心，提高学习积极性122

8.2.2把发展学生的思维能力贯彻在整个教学之中123

8.3《高中数学学习质量控制题》教学改革实验126

8.3.1关于实验的基本情况介绍127

8.3.2关于《控制题》的选设原则、基本类型和练习方法128

8.3.3《控制题》存在的问题和今后设想130

8.4韩国韩昌洙的家教学习方法指导131

8.4.1追根究底学习法132

8.4.2骨架学习法134

第9讲 关于结合教学开展教学研究和撰写教学研究论文的建议137

9.1关于结合教学开展研究的建议137

9.2关于撰写教学研究论文的建议138

附录141

论反例141

关于分类讨论的教学——以有向线段数量公式的教学为例147

关于一道成人高考试题的思考——兼谈解题教学152

关于在数学教学中强调通法的思考157

关于重视几何直观分析的思考161

先猜后证——证明定值问题的常用方法165

对称地处理具有对称性的问题171

用特殊值法解题是有前提条件的175

习题解答178

习题1178

习题2181

习题3185

习题4190

习题5193