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目录3

第一编　高等数学3

1　极限与连续3

1.1　用极限定义验算极限3

1.2　定式的极限6

1.2.1　连续函数的极限6

1.2.2　极限的四则运算法则6

1.2.5　无穷小的基本性质7

1.2.4　无穷小与无穷大的关系7

1.2.3　复合函数求极限法则7

1.3　计算未定式极限的直接方法8

1.3.1 分式有理式的［？］型8

1.3.2　含根式的［？］型8

1.3.3　［？］型未定式9

1.3.4　含三角函数、反三角函数的［？］型11

1.3.5　幂指函数［1∞］型未定式12

1.3.6　含对数式的［？］型13

1.3.7　含指数式的［？］型14

1.3.8　等价无穷小因式替换15

1.4　洛必达法则17

1.5　极限存在的准则21

1.5.1　准则Ⅰ（夹逼准则）21

1.5.2 准则Ⅱ23

1.6　求极限的其他方法举例26

1.6.1　导数定义26

1.6.2　辅以拉格朗日中值定理27

1.6.3　带皮亚诺余项的泰勒展开式28

1.6.4　借助定积分定义29

1.6.5　利用级数的性质30

1.7　关于函数的连续性31

习题138

2　一元函数微分法43

2.1　导数的概念43

2.2　初等显函数的微分法48

2.2.1　基本导数公式表48

2.2.2　求导运算法则48

2.3.1 高阶导数52

2.3　求导方法的拓广52

2.3.2　隐函数的导数56

2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数58

2.4　微分61

2.4.1　微分的概念61

2.4.2　微分的意义62

2.4.3　弧微分65

习题266

3.1　预备定理（费马定理）71

3　微分中值定理71

3.2　拉格朗日中值定理72

3.2.1 用于证明恒等式73

3.2.2　用于证明不等式74

3.2.3　应用导数研究函数77

3.2.4　各种含介值的等式与不等式的证明79

3.3　泰勒中值定理的用法85

3.3.1 选择已知条件最多的点作为展开点85

3.3.2　选择在问题所要讨论的点处展开87

3.3.3　在极值点处展开89

3.3.4 中点的特别作用91

习题394

4　应用导数研究函数96

4.1　函数的单调性96

4.2　函数的极值与最值102

4.3　导数的几何意义106

习题4110

5　不定积分115

5.1　不定积分与原函数的概念115

5.2　积分法117

5.2.1　分项积分法118

5.2.2　第一换元法120

5.2.3　第二换元法133

5.2.4　分部积分法139

5.2.5　非常规积分举例145

习题5147

6　定积分150

6.1　定积分的概念150

6.2　变上限积分153

6.3.1　直接计算法158

6.3　定积分的计算法158

6.3.2　间接计算法165

6.4　定积分证题选173

习题6183

7　向量代数与空间解析几何193

7.1　向量代数的基本知识193

7.2　空间平面与空间直线198

7.2.1　基本方程198

7.2.2　相互关系200

7.2.3　过直线作平面202

7.3　空间的曲面与曲线206

7.3.1 空间曲面方程206

7.3.2 空间曲线211

习题7214

8　多元函数微分法及其应用216

8.1　多元函数的极限与连续216

8.1.1　二元函数的极限的定义216

8.1.2　二元函数的连续性218

8.2.1　偏导数220

8.2　偏导数与全微分220

8.2.2　高阶偏导数222

8.2.3　全微分224

8.3　多元复合函数求导法则227

8.3.1 m×n复合的求导法则227

8.3.2　一阶全微分形式的不变性230

8.3.3　复合函数的二阶偏导数232

8.4　隐函数的导数234

8.4.1 由一个多元方程确定的隐函数235

8.4.2　方程组所确定的隐函数的导数239

8.5　多元函数的极值241

8.5.1　无条件极值241

8.5.2　条件极值243

8.6　多元函数微分法的其他应用249

8.6.1　方向导数与梯度249

8.6.2　空间曲线的切线253

8.6.3 空间曲面的法线与切平面254

8.6.4　二元函数的二阶泰勒公式256

习题8257

9.1　多元数量值函数积分的概念262

9　多元函数积分学262

9.2　二重积分计算法263

9.2.1　直角坐标下的二重积分计算方法264

9.2.2　积分顺序的选择266

9.2.3　极坐标下的二重积分计算法270

9.2.4　对称性的运用274

9.2.5　二重积分的换元法278

9.3　三重积分计算法281

9.3.1　投影法281

9.3.2　截面法286

9.3.3　柱面坐标下的三重积分计算法288

9.3.4　球面坐标下的三重积分计算法290

9.4　对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）292

9.4.1　对孤长的平面曲线积分的计算法292

9.4.2　对弧长的空间曲线积分295

9.5　对面积的曲面积分的计算法295

9.6　第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）299

9.6.1　第二型曲线积分的计算法299

9.6.2　格林公式及其应用302

9.6.3　两类曲线积分的关系311

9.6.4　二元全微分求积问题312

9.7　第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）315

9.8　高斯公式319

9.8.1 高斯公式319

9.8.2 两类曲面积分的联系322

9.9　斯托克斯公式325

9.9.1　斯托克斯公式及应用325

9.9.2　向量场的旋度328

习题9329

10　无穷级数335

10.1　判定数项级数收敛的各种方法335

10.1.1　利用级数收敛的定义判定级数的敛散性335

10.1.2　级数收敛的必要条件339

10.1.3　正项级数收敛的充分必要条件340

10.1.4　正项级数的比较判敛法343

10.1.5　比值判敛法346

10.1.6　正项级数的根值判敛法347

10.1.7　任意项级数的判敛法351

10.1.8　泰勒公式在级数判敛中的作用357

10.2　幂级数359

10.2.1　函数项级数的一般概念359

10.2.2　幂级数的收敛性360

10.2.3　特殊幂级数的求和法366

10.3　将函数展开为幂级数370

10.4　傅里叶级数376

习题10383

11.1.1 求解函数方程388

11　微分方程388

11.1　高等数学各单元的微分方程388

11.1.2　导数390

11.1.3　导数的几何物理意义391

11.1.4　曲率公式395

11.1.5　积分方程397

11.1.6　定积分应用400

11.1.7　化偏微分方程为常微分方程401

11.1.8　二元函数全微分求积问题404

11.1.9　级数中的微分方程406

11.2.1 高阶、常系数、线性齐次微分方程的通解408

11.2　微分方程的一些补充知识408

11.2.2　一些常见类型的二阶、常系数、线性非齐次微分方程的特解y＊的求法409

11.2.3　欧拉方程411

11.2.4　二阶微分方程的常数变易法412

11.2.5　二元一阶线性常系数方程组416

习题11422

12.1　矩阵的乘法431

12.1.1　基本内容431

12　矩阵的基本运算431

第二编　线性代数431

12.1.2　善于用矩阵乘法表示各项基本内容432

12.2　矩阵的初等变换440

12.2.1　基本内容440

12.2.2　用于计算行列式的性质442

12.2.3　求逆矩447

12.2.4　求解矩阵方程450

12.2.5　有关向量组的计算454

12.2.6　解线性方程组456

12.2.7　向量空间中的基本计算461

13　线性代数中的几个重要概念465

13.1 向量组的线性相关与线性无关465

13.1.1　一个向量组间各向量的基本关系466

13.1.2　两个向量组之间的线性关系470

13.2　秩474

13.2.1　有关秩的概念474

13.2.2　有关秩的性质475

13.3　伴随矩阵A＊的一些性质478

13.4.1 向量的内积与两向量正交482

13.4　正交向量组与正交矩阵482

13.4.2　正交向量组483

13.4.3　正交向量组与正交矩阵的性质484

13.4.4　施密特正交化程序485

14　矩阵的特征值与特征向量489

14.1　矩阵的特征值与特征向量489

14.1.1　基本概念与求法489

14.1.2　特征值、特征向量的性质492

14.2.1　相似矩阵的概念与性质498

14.2　相似矩阵498

14.2.2　矩阵与对角形相似500

14.2.3　实对称矩阵的对角化506

14.3　二次型511

14.3.1　化二次型为标准形511

14.3.2　二次型的正定性519

习题12,13,14526

15.1.1　随机试验与随机事件549

15.1　基本概念549

15　事件及其概率549

第三编　概率论与数理统计549

15.1.2　随机事件之间的关系与运算550

15.1.3　事件的运算规律551

15.2　古典概型553

15.2.1　摸球问题553

15.2.2　分房问题557

15.2.3　取数问题561

15.3　几何概型562

16.1.1　概率公理及加法公式566

16　概率的性质和概率公式566

16.1　概率公式566

16.1.2　条件概率与乘法公式567

16.1.3　事件的独立性567

16.1.4　全概率公式和逆概率公式568

16.2　概率公式运用举例568

16.3　重复独立试验与伯努利概型576

习题15,16579

17.1.1 分布函数F（x）的基本性质585

17.1　随机变量的分布函数585

17　一维随机变量585

17.1.2　分布函数和概率计算587

17.2　离散型随机变量589

17.2.1 离散型随机变量的分布律（列）589

17.2.2　常见分布590

17.2.3 离散型随机变量函数的分布595

17.2.4 离散型随机变量的数字特征596

17.3　连续型随机变量600

17.3.1　概率密度函数600

17.3.2　常用分布602

17.3.3　连续型随机变量的数字特征609

17.4　连续型随机变量的函数的分布614

18　多维随机变量619

18.1 二维随机变量的联合分布与边缘分布619

18.1.1　二维随机变量及其联合分布619

18.1.2 离散型二维随机变量的分布律620

18.1.3　二维连续型随机变量622

18.2.1　随机变量的独立性627

18.2.2　条件分布627

18.2　随机变量的独立性627

18.3　常见分布631

18.3.1 均匀分布631

18.3.2　二维正态分布632

18.4　二维随机变量的数字特征633

18.4.1　数学期望与方差633

18.4.2　协方差和相关系数634

18.5　二维随机变量函数的分布638

18.5.1　二维离散型的随机变量的函数的分布638

18.5.3　求Z＝max｛X,Y｝的分布函数（X,Y独立）640

18.5.2　求Z＝X＋Y的概率密度640

18.5.4　求Z＝min｛X,Y｝的分布函数（X,Y独立）641

18.5.5　商的分布641

18.6　大数定律与极限定理643

18.6.1　切比雪夫不等式643

18.6.2　大数定律644

18.6.3　极限定理646

习题17,18648

19.1.1　总体、样本658

19.1　数理统计的基本概念658

19　数理统计初步658

19.1.2　统计量及其分布659

19.1.3　一个正态总体的抽样分布665

19.2　参数估计670

19.2.1　参数的点估计670

19.2.2　参数的区间估计678

19.3　假设检验682

19.3.1　基本思想682

19.3.2　一个正态总体的均值与方差检验685

19.3.3　两个正态总体的均值差与方差比的检验689

习题19692

附录　习题解答与提示697

习题1697

习题2705

习题3712

习题4717

习题5724

习题6730

习题7749

习题8751

习题9759

习题10772

习题11783

习题12,13,14800

习题15,16811

习题17,18811

习题19815