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第0章 记号约定1

0.1 对象的字符串表示1

O.2 判定问题／语言2

0.3 大O记号2

习题3

第一部分 基本复杂性类6

第1章 计算模型——为什么模型选择无关紧要6

1.1 计算的建模：你真正需要了解的内容6

1.2 图灵机7

1.2.1 图灵机的表达能力10

1.3 效率和运行时间11

1.3.1 定义的健壮性11

1.4 机器的位串表示和通用图灵机14

1.4.1 通用图灵机14

1.5 不可计算性简介15

1.5.1 停机问题16

1.5.2 哥德尔定理17

1.6 类P18

1.6.1 为什么模型选择无关紧要19

1.6.2 P的哲学意义19

1.6.3 P的争议和解决争议的一些努力20

1.6.4 埃德蒙兹的引言21

1.7 定理1.9 的证明：O（TlogT）时间的通用模拟21

本章学习内容24

本章注记和历史24

习题26

第2章 NP和NP完全性29

2.1 类NP29

2.1.1 P和NP的关系31

2.1.2 非确定型图灵机31

2.2 归约和NP完全性32

2.3 库克－勒维定理：计算的局部性34

2.3.1 布尔公式、合取范式和SAT问题34

2.3.2 库克－勒维定理34

2.3.3 准备工作：布尔公式的表达能力35

2.3.4 引理2.1 1的证明35

2.3.5 将SAT归约到3SAT38

2.3.6 深入理解库克－勒维定理38

2.4 归约网络39

2.5 判定与搜索42

2.6 coNP、EXP和NEXP43

2.6.1 coNP43

2.6.2 EXP和NEXP44

2.7 深入理解P、NP及其他复杂性类45

2.7.1 NP的哲学意义45

2.7.2 NP与数学证明45

2.7.3 如果P=NP会怎样45

2.7.4 如果NP=coNP会怎样46

2.7.5 NP和NP完全之间存在其他复杂性类吗47

2.7.6 NP难的处理47

2.7.7 更精细的时间复杂性48

本章学习内容48

本章注记和历史48

习题49

第3章 对角线方法53

3.1 时间分层定理53

3.2 非确定型时间分层定理54

3.3 拉德纳尔定理：NP非完全问题的存在性55

3.4 神喻机器和对角线方法的局限性57

3.4.1 逻辑独立与相对59

本章学习内容59

本章注记和历史59

习题60

第4章 空间复杂性61

4.1 空间受限计算的定义61

4.1.1 格局图62

4.1.2 一些空间复杂性类63

4.1.3 空间分层定理64

4.2 PSPACE完全性64

4.2.1 塞维奇定理67

4.2.2 PSPACE的本质：最佳博弈策略67

4.3 NL完全性68

4.3.1 基于证明的NL定义：仅能读一次的证明70

4.3.2 NL=coNL71

本章学习内容72

本章注记和历史73

习题73

第5章 多项式分层和交错75

5.1 类∑p275

5.2 多项式分层76

5.2.1 多项式分层的性质76

5.2.2 PH各层的完全问题77

5.3 交错图灵机78

5.3.1 无限次交错79

5.4 时间与交错：SAT的时空平衡79

5.5 用神喻图灵机定义多项式分层80

本章学习内容81

本章注记和历史81

习题82

第6章 布尔线路83

6.1 布尔线路和P/poly83

6.1.1 P/poly和P之间的关系85

6.1.2 线路的可满足性和库克－勒维定理的另一种证明86

6.2 一致线路87

6.2.1 对数空间一致线路族87

6.3 纳言图灵机88

6.4 P/poly和NP88

6.5 线路下界89

6.6 非一致分层定理90

6.7 线路复杂性类的精细分层91

6.7.1 类NC和类AC92

6.7.2 P完全性92

6.8 指数规模的线路93

本章学习内容93

本章注记和历史94

习题94

第7章 随机计算96

7.1 概率型图灵机97

7.2 概率型图灵机示例98

7.2.1 寻找中位数99

7.2.2 概率型素性测试100

7.2.3 多项式恒等测试101

7.2.4 二分图的完美匹配测试102

7.3 单面错误和“零面”错误：RP、coRP、ZPP103

7.4 定义的健壮性103

7.4.1 准确度常数的作用：错率归约104

7.4.2 期望运行时间与最坏运行时间105

7.4.3 使用比均匀硬币投掷更具一般性的随机选择106

7.5 BPP同其他复杂性类之间的关系106

7.5.1 BPP？P/poly107

7.5.2 BPP？PH107

7.5.3 分层定理与完全问题108

7.6 随机归约109

7.7 空间受限的随机计算109

本章学习内容110

本章注记和历史110

习题111

第8章 交互式证明113

8.1 交互式证明及其变形113

8.1.1 准备工作：验证者和证明者均为确定型的交互式证明113

8.1.2 类IP：概率型验证者115

8.1.3 图不同构的交互式证明116

8.2 公用随机源和类AM118

8.2.1 私有随机源的模拟119

8.2.2 集合下界协议120

8.2.3 定理8.1 2的证明概要123

8.2.4 GI能是NP－完全的吗123

8.3 IP=PSPACE124

8.3.1 算术化125

8.3.2 ＃SATD的交互式协议125

8.3.3 TQBF的协议：定理8.19的证明127

8.4 证明者的能力128

8.5 多证明者交互式证明129

8.6 程序检验130

8.6.1 具有验证程序的语言131

8.6.2 随机自归约与积和式131

8.7 积和式的交互式证明132

8.7.1 协议133

本章学习内容134

本章注记和历史134

习题135

第9章 密码学137

9.1 完全保密及其局限性138

9.2 计算安全、单向函数和伪随机数产生器139

9.2.1 单向函数：定义和实例141

9.2.2 用单向函数实现加密142

9.2.3 伪随机数产生器143

9.3 用单向置换构造伪随机数产生器144

9.3.1 不可预测性蕴含伪随机性144

9.3.2 引理9.10的证明：戈德赖希－勒维定理145

9.4 零知识149

9.5 应用151

9.5.1 伪随机函数及其应用151

9.5.2 去随机化153

9.5.3 电话投币和比特承诺154

9.5.4 安全的多方计算154

9.5.5 机器学习的下界155

本章学习内容155

本章注记和历史155

习题158

第10章 量子计算161

10.1 量子怪相：双缝实验162

10.2 量子叠加和量子位163

10.2.1 EPR悖论165

10.3 量子计算的定义和BQP168

10.3.1 线性代数预备知识168

10.3.2 量子寄存器及其状态向量168

10.3.3 量子操作169

10.3.4 量子操作实例169

10.3.5 量子计算与BQP171

10.3.6 量子线路172

10.3.7 传统计算是量子计算的特例173

10.3.8 通用操作173

10.4 格罗弗搜索算法174

10.5 西蒙算法177

10.5.1 定理10.14的证明177

10.6 肖尔算法：用量子计算机实现整数分解178

10.6.1 ZM上的傅里叶变换179

10.6.2 ZM上的量子傅里叶变换180

10.6.3 肖尔的阶发现算法181

10.6.4 因数分解归约为阶发现184

10.6.5 实数的有理数近似185

10.7 BQP和经典复杂性类186

10.7.1 量子计算中类似于NP和AM的复杂性类187

本章学习内容187

本章注记和历史188

习题190

第11章 PCP定理和近似难度简介192

11.1 动机：近似求解NP难的优化问题193

11.2 用两种观点理解PCP定理194

11.2.1 PCP定理与局部可验证明194

11.2.2 PCP定理与近似难度197

11.3 两种观点的等价性197

11.3.1 定理11.5与定理11.9的等价性198

11.3.2 重新审视PCP的两种理解199

11.4 顶点覆盖问题和独立集问题的近似难度200

11.5 NP？PCP（poly（n），1）：由沃尔什－哈达玛编码得到的PCP202

11.5.1 线性测试与沃尔什－哈达玛编码202

11.5.2 定理11.19的证明203

本章学习内容206

本章注记和历史206

习题207

第二部分 具体计算模型的下界210

第12章 判定树210

12.1 判定树和判定树复杂性210

12.2 证明复杂性212

12.3 随机判定树213

12.4 证明判定树下界的一些技术214

12.4.1 随机复杂性的下界214

12.4.2 敏感性215

12.4.3 次数方法216

本章学习内容217

本章注记和历史217

习题218

第13章 通信复杂性219

13.1 双方通信复杂性的定义219

13.2 下界方法220

13.2.1 诈集方法220

13.2.2 铺砌方法221

13.2.3 秩方法222

13.2.4 差异方法223

13.2.5 证明差异上界的一种技术223

13.2.6 各种下界方法的比较224

13.3 多方通信复杂性225

13.4 其他通信复杂性模型概述227

本章学习内容228

本章注记和历史228

习题229

第14章 线路下界：复杂性理论的滑铁卢232

14.1 AC0和哈斯塔德开关引理232

14.1.1 哈斯塔德开关引理233

14.1.2 开关引理的证明234

14.2 带“计数器”的线路：ACC236

14.3 单调线路的下界239

14.3.1 定理14.7的证明239

14.4 线路复杂性的前沿242

14.4.1 用对角线方法证明线路下界242

14.4.2 ACC Vs P的研究现状243

14.4.3 具有对数深度的线性线路244

14.4.4 线路图244

14.5 通信复杂性方法245

14.5.1 与ACC0线路之间的联系245

14.5.2 与线性规模对数深度的线路之间的联系246

14.5.3 与线路图之间的联系246

14.5.4 卡奇梅尔－维格德尔森通信游戏与深度下界246

本章学习内容248

本章注记和历史249

习题249

第15章 证明复杂性251

15.1 几个例子251

15.2 命题演算与归结252

15.2.1 用瓶颈法证明下界253

15.2.2 插值定理和归结的指数下界254

15.3 其他证明系统概述256

15.4 元数学的思考258

本章学习内容258

本章注记和历史258

习题259

第16章 代数计算模型260

16.1 代数直线程序和代数线路261

16.1.1 代数直线程序261

16.1.2 例子262

16.1.3 代数线路263

16.1.4 代数线路中类似于P、NP的复杂性类264

16.2 代数计算树266

16.2.1 下界的拓扑方法268

16.3 布卢姆－舒布－斯梅尔模型270

16.3.1 复数上的复杂性类271

16.3.2 完全问题和希尔伯特零点定理271

16.3.3 判定性问题——曼德勃罗集272

本章学习内容272

本章注记和历史273

习题274

第三部分 高级专题278

第17章 计数复杂性278

17.1 计数问题举例278

17.1.1 计数问题与概率估计279

17.1.2 计数可能难于判定279

17.2 复杂性类＃P280

17.2.1 复杂性类PP：类似于＃P的判定问题281

17.3 ＃P完全性281

17.3.1 积和式和瓦利安特定理282

17.3.2 ＃P问题的近似解286

17.4 户田定理：PH？P＃SAT287

17.4.1 过渡：具有唯一解的布尔满足性问题288

17.4.2 ？的性质和对NP、coNP证明引理17.17289

17.4.3 引理17.1 7的证明：一般情形290

17.4.4 第二步：转换为确定型归约291

17.5 待决问题292

本章学习内容293

本章注记和历史293

习题293

第18章 平均复杂性：勒维定理295

18.1 分布问题与distP296

18.2 “实际分布”的形式化定义298

18.3 distNP及其完全问题298

18.3.1 distNP的一个完全问题300

18.3.2 P－可抽样的分布301

18.4 哲学意义和实践意义301

本章学习内容303

本章注记和历史303

习题303

第19章 难度放大和纠错码305

19.1 从温和难度到强难度：姚期智XOR引理306

19.1.1 用因帕利亚佐难度核引理证明姚期智XOR引理307

19.1.2 因帕利亚佐难度核引理的证明309

19.2 工具：纠错码310

19.2.1 显式纠错码312

19.2.2 沃尔什－哈达玛纠错码312

19.2.3 里德－所罗门纠错码313

19.2.4 里德－穆勒纠错码313

19.2.5 拼接纠错码314

19.3 高效解码315

19.3.1 里德－所罗门解码315

19.3.2 拼接解码316

19.4 局部解码与难度放大316

19.4.1 沃尔什－哈达玛纠错码的局部解码算法318

19.4.2 里德－穆勒纠错码的局部解码算法318

19.4.3 拼接纠错码的局部解码算法319

19.4.4 局部解码算法综合运用于难度放大320

19.5 列表解码321

19.5.1 里德－所罗门纠错码的列表解码322

19.6 局部列表解码：接近BPP=P323

19.6.1 沃尔什－哈达玛纠错码的局部列表解码323

19.6.2 里德－穆勒纠错码的局部列表解码323

19.6.3 拼接纠错码的局部列表解码325

19.6.4 局部列表解码算法综合运用于难度放大325

本章学习内容326

本章注记和历史327

习题328

第20章 去随机化330

20.1 伪随机数产生器和去随机化331

20.1.1 用伪随机数产生器实现去随机化331

20.1.2 难度与去随机化333

20.2 定理20.6 的证明：尼散－维格德尔森构造334

20.2.1 两个示意性例子334

20.2.2 尼散－维格德尔森构造336

20.3 一致假设下的去随机化339

20.4 去随机化需要线路下界340

本章学习内容343

本章注记和历史343

习题344

第21章 伪随机构造：扩张图和提取器345

21.1 随机游走和特征值346

21.1.1 分布向量和参数λ（G）346

21.1.2 无向连通性问题的随机算法的分析349

21.2 扩张图349

21.2.1 代数定义350

21.2.2 组合扩张和扩张图的存在性350

21.2.3 代数扩张图蕴含组合扩张图351

21.2.4 组合扩张图蕴含代数扩张图352

21.2.5 用扩张图设计纠错码353

21.3 扩张图的显式构造355

21.3.1 旋转映射356

21.3.2 矩阵乘积和路径乘积356

21.3.3 张量积356

21.3.4 替换乘积357

21.3.5 显式构造359

21.4 无向连通性问题的确定型对数空间算法361

21.4.1 连通性问题的对数空间算法（定理21.21的证明）361

21.5 弱随机源和提取器362

21.5.1 最小熵363

21.5.2 统计距离364

21.5.3 随机性提取器的定义364

21.5.4 提取器的存在性证明364

21.5.5 基于哈希函数构造提取器365

21.5.6 基于扩张图的随机游走构造提取器366

21.5.7 由伪随机数产生器构造提取器366

21.6 空间受限计算的伪随机数产生器368

本章学习内容372

本章注记和历史372

习题374

第22章 PCP定理的证明和傅里叶变换技术378

22.1 非二进制字母表上的约束满足问题378

22.2 PCP定理的证明379

22.2.1 PCP定理的证明思路379

22.2.2 迪纳尔鸿沟放大：引理22.5 的证明380

22.2.3 扩张图、随机游走和INDSET的近似难度381

22.2.4 迪纳尔鸿沟放大382

22.2.5 字母表削减：引理22.6 的证明387

22.3 2CSPw的难度：鸿沟和字母表大小之间的平衡389

22.3.1 莱斯的证明思想：并行重复389

22.4 哈斯塔德3位PCP定理和MAX-3SAT的难度390

22.4.1 MAX-3SAT的近似难度390

22.5 工具：傅里叶变换391

22.5.1 GF（2）n上的傅里叶变换391

22.5.2 从较高层面看傅里叶变换和PCP之间的联系393

22.5.3 GF（2）上线性测试的分析393

22.6 坐标函数、长编码及其测试395

22.7 定理22.1 6的证明396

22.8 SET-COVER的近似难度400

22.9 其他PCP定理概述402

22.9.1 具有亚常数可靠性参数的PCP定理402

22.9.2 平摊的查验复杂度402

22.9.3 2位测试和高效傅里叶分析403

22.9.4 唯一性游戏和阈值结果404

22.9.5 与等周问题和度量空间嵌入之间的联系404

22.A 将qCSP实例转换成“精细”实例405

本章学习内容406

本章注记和历史407

习题408

第23章 为什么线路下界如此困难411

23.1 自然证明的定义411

23.2 为什么自然证明是自然的412

23.2.1 为什么要求可构造性413

23.2.2 为什么要求广泛性413

23.2.3 用复杂性测度看自然证明414

23.3 定理23.1的证明415

23.4 一个“不自然的”下界416

23.5 哲学观点417

本章注记和历史417

习题418

附录A数学基础419

部分习题的提示438

参考文献447

术语索引472

复杂性类索引478