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第1章 研究对象——函数关系与数学模型1

1.1 函数关系的地位与作用1

1.1.1 关系与函数关系1

1.1.2 研究函数关系的方法2

1.2 中学函数知识回顾7

1.2.1 函数的基本定义7

1.2.2 函数的基本性质8

1.2.3 基本初等函数及其性质10

1.3 初等函数及其性质13

1.3.1 复合函数13

1.3.2 初等函数14

1.4 数学模型及其建立15

1.4.1 数学模型15

1.4.2 建立数学模型的基本思路16

1.4.3 几个实际问题及其数学模型的建立18

练习题127

第2章 图论数学模型及其应用30

2.1 从七桥问题说起——关于图模型30

2.2 中国邮路问题——多笔画与奇偶点网上作业法31

2.2.1 问题的提出——中国邮路问题32

2.2.2 问题解决33

2.3 建立图模型解决实际问题的趣例36

2.4 最小树问题的数学模型40

2.4.1 问题的提出——地下管道最佳铺设路线40

2.4.2 知识储备——最小树的概念及其解法40

2.4.3 问题解决42

2.5 最短路问题43

2.5.1 问题的提出43

2.5.2 知识储备——最短路问题的算法44

2.5.3 问题解决46

2.5.4 进一步研究的问题46

练习题247

第3章 差分方程模型52

3.1 问题的提出——从贷款问题说起52

3.2 知识储备53

3.2.1 数列与差分53

3.2.2 一阶差分方程58

3.3 问题的解决63

3.4 进一步研究的问题65

3.4.1 二阶差分方程问题的提出65

3.4.2 知识储备66

3.4.3 问题解决67

3.5 几个应用实例69

3.5.1 均衡价格与市场稳定模型69

3.5.2 关于黄金分割问题71

3.5.3 货币的时间价值74

练习题376

第4章 微积分模型初步78

4.1 问题的提出78

4.1.1 速度问题数学模型的建立78

4.1.2 曲线切线数学模型的建立78

4.1.3 面积问题79

4.2 知识储备（1）极限浅说81

4.2.1 有限与无限之争81

4.2.2 建筑师的杰作与刘徽的割圆术82

4.2.3 极限的求法84

4.2.4 极限与函数的连续性91

4.3 问题的解决（1）94

4.4 知识储备（2）导数及其运算95

4.4.1 导数的定义95

4.4.2 导数的基本运算公式96

4.4.3 导数的基本运算法则98

4.4.4 高阶导数101

4.5 问题的解决（2）103

4.5.1 运行速度问题的解决103

4.5.2 曲线切线方程的求法104

4.6 进一步研究的问题——导数的简单应用105

4.6.1 曲线增减性的判定与极值105

4.6.2 照度问题——导数在生产、生活中的简单应用108

4.7 知识储备（3）微分与积分初步112

4.7.1 微分概念112

4.7.2 微分运算的逆运算——不定积分114

4.7.3 不定积分的计算方法116

4.8 问题的解决（3）120

4.8.1 火车司机的秘诀120

4.8.2 怎样求不规则图形的面积121

4.9 进一步研究的问题124

4.9.1 旋转体体积计算问题125

4.9.2 微分方程模型的积分解法126

4.9.3 马王堆一号墓年代的确定132

练习题4133

第5章 随机数学模型138

5.1 问题的提出138

5.2 知识储备（1）概率论基本知识140

5.2.1 随机现象及其统计规律性140

5.2.2 随机现象的具体表现形式——随机事件145

5.2.3 随机事件间的基本关系147

5.2.4 事件发生可能性的度量——概率150

5.3 知识储备（2）两个常用概率模型154

5.3.1 古典概型154

5.3.2 抽签不分先后——条件概率模型158

5.4 知识储备（3）离散型随机变量及其概率分布160

5.4.1 离散型随机变量160

5.4.2 离散型随机变量及其分布161

5.4.3 二项分布概率模型162

5.5 问题的解决（1）165

5.5.1 囚犯问题165

5.5.2 安全装置的可靠性问题166

5.5.3 彩票问题166

5.6 知识储备（4）离散型随机变量的数字特征167

5.6.1 数学期望167

5.6.2 方差169

5.6.3 决策问题171

5.7 问题的解决（2）求职决策176

5.8 进一步研究的问题——连续型随机变量及其简单应用178

5.8.1 连续型随机变量的定义178

5.8.2 连续型随机变量的数字特征180

5.8.3 正态分布概率模型及其应用简介181

5.9 知识储备（5）数理统计思想简介185

5.9.1 数据收集问题185

5.9.2 假设检验问题186

5.1 0问题的解决（3）药效问题187

练习题5188

第6章 常用数学方法简介191

6.1 常用数学方法191

6.1.1 构造法191

6.1.2 反证法193

6.1.3 数学归纳法194

6.1.4 枚举法195

6.1.5 相似法196

6.1.6 特殊化与一般化197

6.2 有趣的悖论问题199

6.2.1 毕达哥拉斯悖论199

6.2.2 先有鸡还是先有蛋199

6.2.3 见克莱悖论200

6.2.4 秃头悖论200

6.2.5 说谎者悖论201

6.2.6 理发师悖论202

附录1204

一、体育中的数学204

二、音乐中的数学209

三、美术中的数学——绘画与透视221

四、数学与语言学239

五、数学与文学252

附录2 各章练习题答案或提示258

附录3 标准正态分布函数值表266

参考文献267