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第一部分 高等数学1

第一章　函数1

1　函数的有关概念和几种特性1

2　分段函数与积分上限的函数5

第二章　极限 连续 求极限的方法7

1　极限的概念与性质8

1.1 定义8

1.2 基本性质8

2　极限的存在与不存在问题9

2.1　数列xn敛散性的判别9

2.2 函数y=f(x)的极限存在与不存在问题10

2.3　证明二元函数z=f(x,y)极限不存在问题11

3　无穷小量和它的阶12

3.1 无穷小量、极限、无穷大量及相互间的关系12

3.2　无穷小量的阶12

3.3　无穷小量阶的运算性质13

3.4　等价无穷小量的重要性质14

3.5　确定无穷小量阶的方法14

4　求极限的方法15

4.1 极限的四则运算与幂指数运算法则15

4.2　用洛必达法则求未定式的极限17

4.3　利用函数的连续性求极限20

4.4 利用变量替换法与两个重要极限求极限20

4.5　利用适当放大缩小法求极限21

4.6　利用函数极限求数列极限23

4.7 利用单调有界数列存在极限定理求某些递归数列的极限24

4.8　利用定积分求某些和式的极限26

4.9　求二元函数的极限27

5　函数的连续性及其判断28

5.1　连续性概念28

5.2　连续性运算法则28

5.3　怎样判断函数的连续性28

5.4　二元函数的连续性30

第三章　导数 微分法31

1 导数的概念 函数的可导性与连续性之间的关系31

1.1　基本事项31

1.2 用导数定义求某些函数的极限32

1.3　用定义求导数33

2　微分法则36

2.1 导数的四则运算 复合函数求导法36

2.2　隐函数的微分法41

2.3　某些简单函数的n阶导数42

3　微分的概念及其运算法则44

4　导数的几何意义 经济学中的两个概念46

4.1　导数的几何意义46

4.2　经济学中的两个概念47

5　多元函数的偏导数与全微分概念50

6　复合函数偏导数的求法53

7　多元隐函数的微分法57

8　多元函数全微分计算60

第四章 闭区间上连续函数的性质微分学的中值定理及其应用63

1 闭区间上连续函数的性质及其应用63

2　微分学中值定理的内容提要64

3　用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要65

3.1　函数的单调性65

3.2　函数的极值65

3.3　函数的最大值、最小值65

3.4　函数图形的凹凸性和拐点66

3.5　曲线的渐近线66

3.6　函数图形的描绘67

4　微分学中值定理的应用题型67

4.1　函数单调性的讨论67

4.2　不等式的证明69

4.3　讨论极值和最值问题73

4.4　中值命题的证明74

4.5　方程根的讨论80

4.6　证明函数恒等常数82

4.7　描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题82

第五章　一元积分学84

1　不定积分的内容提要84

1.1 原函数与不定积分的概念84

1.2　不定积分的性质85

1.3　求不定积分的基本公式85

1.4　求不定积分的基本方法86

2　定积分的内容提要94

2.1 定积分的概念和性质 定积分中值定理94

2.2　微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式96

2.3　定积分的换元法96

2.4　定积分的分部积分法96

3　广义积分内容提要97

3.1 无穷区间上的广义积分(无穷积分)97

3.2　无界函数的广义积分(瑕积分)98

4　定积分的计算98

4.1　计算定积分的基本方法98

4.2　分段函数(包括带绝对值符号的函数)的定积分计算102

4.3　含参数的定积分计算103

5　广义积分的计算104

6　定积分证明题105

6.1　定积分等式的证明105

6.2　定积分不等式的证明108

6.3　定积分中值命题的证明112

6.4 从定积分的信息提取被积函数的信息113

7　变限定积分及其导数114

第六章　二重积分115

1　二重积分的概念与性质115

1.1 二重积分的定义、几何意义与物理意义115

1.2　二重积分的存在性116

1.3　二重积分的性质116

2　在直角坐标系中化二重积分为累次积分120

3　二重积分的变量替换——平移变换与极坐标变换122

3.1　二重积分的平移变换122

3.2　在极坐标变换下化二重积分为累次积分123

4　怎样应用二重积分化为累次积分公式及简化二重积分计算问题126

5　无界区域上简单二重积分的计算132

第七章　微积分的应用133

1　导数的某些应用134

1.1　边际与弹性134

1.2　最大值与最小值应用问题136

2　定积分的某些应用141

第八章　无穷级数147

1　常数项级数？147

1.1 ？收敛、和、发散的概念及基本性质147

1.2　用差消法、夹逼法求某些级数的和148

1.3 用必要条件判别级数的发散性149

1.4 用基本性质判别级数的收敛性150

2　正项级数的收敛判别法150

2.1　估计部分和有界法150

2.2　比较判别法151

2.3　达朗贝尔(比值)判别法153

3　交错级数153

4　级数的绝对收敛与条件收敛155

5　函数项级数 幂级数156

5.1　基本概念156

5.2　幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域157

5.3　幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法160

6　函数的幂级数展开式165

6.1 内容提要165

6.2　初等函数的幂级数展开式166

第九章 常微分方程与差分方程169

1　常微分方程169

1.1　基本概念169

1.2　变量可分离的方程与齐次方程171

1.3　一阶线性方程173

1.4　二阶常系数线性微分方程176

2　差分方程181

2.1　基本概念181

2.2　一阶常系数线性差分方程182

3　微分方程与差分方程的简单应用185

第二部分　线性代数189

第一章　行列式189

1　行列式的概念189

2　行列式的性质与计算191

3　行列式按行(或列)的展开公式195

4　行列式的分块计算 范德蒙行列式200

第二章　矩阵203

1　矩阵的概念及运算203

1.1　矩阵的概念203

1.2　矩阵的运算204

1.3　几类特殊的矩阵208

2　逆矩阵与伴随矩阵211

2.1　可逆矩阵的概念与性质211

2.2　伴随矩阵214

3　初等变换与初等矩阵217

3.1　概念与性质217

3.2　利用初等行变换求逆矩阵222

3.3　矩阵方程224

3.4　阶梯形矩阵226

4　矩阵的分块运算227

第三章　向量228

1　向量的线性关系229

1.1 向量的基本概念229

1.2　向量的线性运算229

1.3　线性组合与线性表示230

1.4 向量组的线性相关与线性无关231

2 向量组的极大无关组与秩 矩阵的秩235

2.1 向量组的极大无关组与秩235

2.2　矩阵的秩237

2.3　秩的计算239

3　向量的内积运算244

3.1 内积的定义及性质244

3.2　正交矩阵245

3.3　施密特正交化246

第四章　线性方程组249

1　概念249

1.1　基本概念249

1.2　线性方程组的解的性质250

2　齐次线性方程组Ax=O251

2.1　有非零解的条件251

2.2　基础解系和通解251

2.3　基础解系的求法(矩阵消元法)252

3　非齐次线性方程组Ax=B256

3.1　判别定理256

3.2　解的结构259

3.3　非齐次方程组通解的求法259

第五章　n阶矩阵的特征值和特征向量n阶矩阵的相似关系和对角化264

1　特征向量和特征值264

1.1　定义与性质264

1.2　特征多项式267

1.3　特征值与特征向量的计算269

2　n阶矩阵的相似关系与对角化272

2.1　n阶矩阵的相似关系272

2.2　n阶矩阵的对角化问题273

3　实对称矩阵的对角化278

第六章　二次型281

1　二次型及其矩阵281

1.1　二次型的定义281

1.2　可逆线性变量替换283

1.3　n阶矩阵的合同关系283

2　二次型的标准化和规范化 惯性指数284

2.1　惯性指数284

2.2　标准化和规范化的方法284

2.3　惯性指数与特征值的关系289

3　正定二次型与正定矩阵290

3.1　定义与基本性质290

3.2　正定性的判别290

第三部分　概率论与数理统计初步293

第一章　随机事件和概率293

1　随机事件及其运算关系293

1.1　基本概念293

1.2　事件的关系和运算293

2　概率的主要概念和性质294

2.1 概率的定义及其基本性质294

2.2　条件概率与事件的独立性294

3　概率的主要公式及应用295

3.1　计算概率的主要公式295

3.2　概率计算的综合题297

第二章 随机变量及其概率分布300

1　随机变量及其分布函数300

1.1 随机变量300

1.2　分布函数300

1.3　随机变量的函数300

1.4　期望300

1.5　方差301

1.6　随机变量的分类301

2　离散型随机变量301

2.1 概率分布301

2.2　分布函数302

2.3　期望302

2.4　方差303

2.5　离散型随机变量函数Y=f(X)的概率分布303

2.6　常见的离散型概率分布304

3　连续型随机变量304

3.1　分布密度304

3.2　分布函数305

3.3　期望305

3.4　方差306

3.5 随机变量函数Y=f(X)的概率分布306

3.6　随机变量函数Y=f(X)期望计算的公式306

3.7　常见的连续型分布306

4　随机变量的分布函数、期望、方差的综合练习307

第三章 随机向量及其概率分布311

1　随机向量的基本概念311

1.1　随机向量311

1.2　联合分布函数311

1.3　边缘分布函数311

1.4　随机向量的独立性312

1.5　随机向量的数字特征312

1.6　随机向量的函数312

1.7　随机向量的分类312

2　离散型随机向量312

2.1　联合概率分布312

2.2　边缘概率分布313

2.3　条件概率分布314

2.4　离散型随机向量独立性条件314

2.5　离散型随机向量函数Z=f(X,Y)的概率分布314

2.6　离散型随机向量函数的期望公式314

3　连续型随机向量314

3.1　联合分布密度与联合分布函数314

3.2　二元均匀分布315

3.3　边缘分布函数与边缘分布密度函数316

3.4　连续型随机向量的独立性316

3.5　条件分布密度317

3.6　连续型随机向量函数的概率分布密度317

3.7　连续型随机向量函数的期望公式317

3.8　二元正态分布N(μ1,μ2;σ？,σ？;ρ)319

4　独立正态随机变量函数的概率分布320

4.1　n元连续型随机向量320

4.2　n元正态随机向量320

4.3　x2分布、t分布和F分布321

5　随机向量的概率分布和数字特征的计算322

第四章　大数定律和中心极限定理329

1　切比雪夫不等式和大数定律329

1.1　切比雪夫不等式329

1.2　切比雪夫大数定律329

1.3　伯努利大数定律330

1.4　辛钦大数定律330

2　中心极限定理330

2.1　泊松极限定理330

2.2　棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理331

2.3　列维-林德伯格中心极限定理331

第五章　数理统计332

1　数理统计的基本概念332

1.1　总体与样本332

1.2　统计量333

1.3 正态总体某些统计量的分布333

1.4　分布函数的分位数334

2　参数估计334

2.1 点估计334

2.2　区间估计338

3　假设检验341

3.1　假设检验的基本点341

3.2 单个正态总体X～N(μ,σ2)的假设检验341

3.3　两个独立正态总体X～N(μ1,σ？)，Y～N(μ2，σ？)的假设检验342