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第1章 基础知识1

1.1几个基本空间的定义1

1.1.1距离空间1

1.1.2线性空间2

1.1.3线性赋范空间2

1.1.4Hilbert空间4

1.2线性算子与线性泛函4

1.2.1线性算子4

1.2.2线性泛函6

1.3连续函数空间8

1.3.1 Cm（Ω）空间的完备性8

1.3.2 Cm，λ（Ω）空间的完备性10

1.4 Hilbert空间的Riesz表示定理与Lax-Milgram定理12

第2章 Lp（Ω）空间及其基本性质14

2.1 Lp（Ω）空间14

2.1.1 Lp（Ω）空间的定义14

2.1.2 Holder不等式、Minkowski不等式和Lp（Ω）范数的内插不等式15

2.1.3 Lp（Ω）空间的完备性22

2.1.4 Lp（Ω）空间的一致凸性24

2.1.5 Lp（Ω）空间的一个嵌入定理32

2.1.6 Cc（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性34

2.1.7卷积、函数的正则化和C∞c（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性36

2.1.8 Lp（Ω）空间的可分性46

2.1.9 Lp（Ω）空间元素的整体连续性47

2.2 Lp（Ω）空间上线性泛函的表示形式49

2.2.1预备知识49

2.2.2 Lp（Ω）空间的Riesz表示定理55

2.3 Lp（Ω）空间的弱完备性60

2.3.1紧集的定义和关于强紧集定理60

2.3.2 Lp（Ω）空间的弱完备性与弱紧集定理60

2.4弱Lp（Ω）空间、Marcinkiewicz插值定理65

2.4.1弱Lp（Ω）空间、次线性算子、强型算子和弱型算子65

2.4.2 Marcinkiewicz插值定理69

2.4.3 Minkowski积分不等式69

2.5混合范数Lp空间74

2.6 Lp（Ω）空间中的准紧集75

第3章 整数阶索伯列夫空间Wmn，p（Ω）及其基本性质79

3.1广义函数79

3.1.1广义函数的性质80

3.1.2广义函数的支集85

3.1.3广义函数的直积85

3.1.4广义函数的卷积89

3.1.5广义函数的导数95

3.2 Wm，p（Ω）空间及其性质99

3.3单位分解定理110

3.4区域的几何性质113

3.5 C∞c（RN，Ω）在Wm，p（Ω）中的稠密性120

3.6 Hm，p（Ω）空间124

3.7对偶性与空间W-m，p’（Ω）125

3.7.1 Wm，p（Ω）的对偶与Wm 0，p（Ω）的赋范对偶126

3.7.2空间Lp’（Ω）的（-m，p’）范数128

3.8差商与空间W 1，p（Ω）129

第4章 索伯列夫空间的嵌入定理和插值定理132

4.1嵌入的含义、坐标变换132

4.1.1嵌入的含义132

4.1.2坐标变换137

4.2嵌入定理141

4.3作为Banach代数的Wm，p（Ω）空间158

4.4插值定理163

4.5紧嵌入定理180

4.6延拓定理188

4.7边界迹194

4.8 Poincare不等式和Wm 0，p（Ω）的一个等价范数197

第5章 含有时间的空间199

5.1抽象函数199

5.2抽象函数的Bochner积分202

5.3含有时间的空间207

5.3.1 Lp（（0，T）；X）空间的完备性207

5.3.2 L∞（（0，T）；X）空间的完备性209

5.4含有时间的索伯列夫空间211

5.5 Aubin引理215

第6章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（Ⅰ）219

6.1预备知识219

6.1.1 Gronwall不等式（微分形式）219

6.1.2 Gronwall不等式（积分形式）220

6.1.3 Jensen不等式221

6.1.4 Leray-Schauder不动点定理221

6.2广义Ginzburg-Landau模型方程的初边值问题222

6.2.1初边值问题（6.2.2）-（6.2.4）整体解的存在性与唯一性223

6.2.2解的渐近性质241

6.3一般线性椭圆型方程的Dirichlet问题242

6.4具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题244

6.5广义立方双色散方程的初边值问题251

6.6一类四阶非线性发展方程初边值问题解的渐近性质257

6.7广义IMBq型方程组的初边值问题260

6.7.1问题的提出和广义解的定义261

6.7.2初边值问题（6.7.17），（6.7.19），（6.7.21）的整体解264

6.7.3问题（6.7.16）-（6.7.21）的整体解275

第7章 离散函数空间的插值公式和应用277

7.1一个指标的离散函数277

7.1.1离散函数的插值公式277

7.1.2关于离散函数指数为α的Holder系数的不等式285

7.1.3一个离散函数的不等式286

7.1.4有限维空间连续映射的不动点定理288

7.2广义Schrodinger型方程组初边值问题的有限差分法288

7.2.1有限差分方程组（7.2.3）h和有限差分边值条件（*）h解的存在性和唯一性290

7.2.2有限差分方程组（7.2.3）h在适当的有限差分边值条件（*）h和离散的初值条件（7.2.8）h下解的先验估计292

7.2.3当h2+△t2→0时，有限差分方程组（7.2.3）h，（*）h，（7.2.8）h的离散向量解v△=﹛v n j|j=0，1，…，J；n=0，1，…，N﹜的收敛性299

第8章 分数阶索伯列夫空间307

8.1速降函数、缓增广义函数307

8.1.1速降函数307

8.1.2缓增广义函数310

8.2 Fourier变换314

8.2.1 ψ空间中函数的Fourier变换314

8.2.2 ψ’空间中函数的Fourier变换320

8.2.3 Lebesgue空间中函数的Fourier变换324

8.3分数阶索伯列夫空间Hs（R N）333

8.4 Hs（R N）空间范数的内插342

8.5分数阶索伯列夫空间Hs（Ω）343

第9章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（Ⅱ）349

9.1具阻尼项的N维广义IMBq方程的Cauchy问题349

9.1.1问题的来历349

9.1.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C2（［0，∞）；Hs）中整体解的存在唯一性和解的爆破350

9.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C3（［0，∞）；W m，p∩L∞∩L2）中的整体解的存在唯一性和解的爆破367

9.3具Stokes阻尼项的IMBq方程的Cauchy问题376

9.3.1辅助问题（9.3.3），（9.3.4）整体解的存在性和唯一性376

9.3.2 Cauchy问题（9.3.1），（9.3.2）385

参考文献390

附录396

索引401

《现代数学基础丛书》已出版书目406