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第一讲 如何求切线、面积和体积1

1 面积的定义1

2 三角形的面积1

3 圆的面积——一个难题1

4 一个思考的问题：抛物线y=x2下的面积2

5 求切线——Fermat模式2

6 再回到求抛物线y=x2下的面积——Newton模式5

7 球体的体积6

8 一个挑战：求球体的表面积6

9 用两次Newton模式：更复杂体的体积——二重积分7

第二讲 更复杂函数求切线和积分9

1 第一个重要极限和三角函数的导数9

2 第二个重要极限和对数函数的导数9

3 指数函数的导数——反函数的求导法则11

4 更复杂函数的斜率的求法11

5 更复杂函数对应的面积——求积分的基本方法12

6 曲线的弧长12

7 求球体的表面积的另一个方法13

第三讲 无穷阶多项式——幂级数14

1 Newton二项式定理14

2 Newton计算π的近似值14

3 无穷阶的多项式——幂级数15

4 幂级数的另一个应用——Euler的神奇求和公式16

5 在一般点处的Taylor展开的微妙之处17

第四讲 多元函数极值问题、偏导数、曲线积分和外微分18

1 极值问题和偏导数18

2 导数和偏导数的更多问题18

3 Newton模式：沿着曲线做功——曲线积分20

4 关于二重积分的定义——面积是有方向的——外积的引入21

5 外微分形式和外微分，外微分的几何意义，Stokes公式23

6 通过复数求积分——复数的引入和复变函数25

第五讲 计算面积的若干新方法29

1 二重积分的一个有趣方法29

2 有理数的长度30

3 区间分割、数的进位表示与一些有趣的集合31

4 积分的又一种计算方法——Lebesgue积分的计算与测度论的起源及其与概率论的联系31

5 另一种分割y轴计算面积法——函数的层饼表示33

第六讲 积分几何和等周不等式35

1 一个几何概率问题35

2 平面上刚体的不变测度37

3 凸集的支撑函数和几何概率问题的解38

4 另一个几何概率问题和Poincaré运动公式40

5 Bonnesen型等周不等式43

第七讲 等周不等式和测度集中46

1 Brunn-Minkowski不等式和Prekopa-Leindler不等式46

2 等周不等式和索伯列夫不等式48

3 球面上的等周不等式与测度集中51

4 Levy引理的另一种形式及其直接证明55

第八讲 无穷维函数的求导和积分61

1 无穷维函数的构造61

2 无穷维极值问题——变分法62

3 无穷维函数的积分与测度集中63

第九讲 振动问题与微分方程66

1 弹簧的振动——由方程本身建立正弦函数和余弦函数的性质66

2 弦的振动——Fourier级数——无穷多守恒量68

3 利用在平面上任意直线上的积分值来重构二元函数——一种简单情形72

第十讲 Liouville理论——为什么ex2的原函数不能表示成初等函数74

1 初等函数的构造74

2 初等函数的导数75

3 添加对数函数与指数函数后，关于复合多项式的导数的一个结果75

4 Liouville定理及其证明76

5 Liouville定理的应用——某些初等函数的原函数不能表示成初等函数的例子和证明80

第十一讲 若干杂题83

1 闭曲线所围面积公式与Green公式的另一个推导83

2 Euler交错和的表示和计算问题85

3 Brouwer的不动点定理和Poincaré不动点定理91

4 Rolle定理及其高维和无穷维推广的问题92

5 圆周上的函数94

6 对严格化理论的需要——极限语言的可操作性定义95

7 关于分数阶微积分的闲话97

参考文献99

后记101