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第一章 集合、拓扑、线性运算与连续1

1 集合1

1.1 集合与关系1

1.2 序与选择公理3

1.3 集合的基数5

1.4 良序集的序数10

2 拓扑与连续12

2.1 拓扑空间与连续映射13

2.2 网与紧性20

2.3 度量空间25

2.4 连续函数30

2.5 Riemann流形35

2.6 拓扑群与Lie群47

3 向量拓扑与线性算子53

3.1 赋范线性空间53

3.2 内积空间57

3.3 有界线性算子62

3.4 对偶空间与共轭算子64

3.5 线性拓扑空间68

3.6 缓增广义函数74

第二章 测度79

1 σ-代数79

2 测度84

3 外测度91

4 Rn上的正则Borel测度98

4.1 正则Borel测度98

4.2 Lebesgue测度104

5 几个反例107

第三章 积分112

1 可测函数及其基本性质112

2 积分的定义及其基本性质118

3 积分号下求极限123

4 可测函数列的几种收敛性132

5 乘积测度与Fubini定理137

6 Rn上积分的变量替换145

第四章 测度的分解与微分156

1 测度的Jordan分解及其变差156

2 测度的微分163

3 Rn上的微分170

3.1 Hardy-Littlewood极大定理170

3.2 Lebesgue微分定理172

4 R1上的有界变差函数176

4.1 有界变差函数与L.-S．积分176

4.2 绝对连续函数182

第五章 函数空间及算子插值189

1 Lp空间的基本理论189

1.1 完备性与可分性189

1.2 Lp空间的比较194

1.3 几个不等式196

1.4 Orlicz空间199

2 Lp空间的对偶200

3 弱Lp空间与Lorentz空间206

3.1 分布函数与弱Lp空间206

3.2 重排函数与Lorentz空间209

4 Lp空间的插值215

4.1 Riesz-Thorin定理及其推广215

4.2 Marcinkiewicz定理及其推广223

第六章 Daniell积分与Radon测度231

1 Daniell积分231

1.1 Daniell积分的扩张232

1.2 Daniell-Stone定理237

2 拓扑空间上的Radon测度243

2.1 Riesz表示定理243

2.2 Radon测度的若干性质249

3 拓扑群上的Haar测度252

4 拓扑群上的卷积260

4.1 拓扑群上的卷积260

4.2 Rn上的逼近恒等263

5 Rn上的Fourier变换267

第七章 几何测度273

1 Hausdorff测度与维数273

1.1 Hausdorff测度273

1.2 Hausdorff维数277

1.3 Lipα-曲面280

2 子流形的Hausdorff测度284

3 Sobolev不等式与等周不等式290

3.1 Riesz位势与Sobolev不等式290

3.2 等周不等式294

4 容度299

4.1 Bessel位势299

4.2 Bessel容度及其基本性质302

第八章 向量值测度与积分310

1 向量值测度及其基本性质310

1.1 向量值测度的定义310

1.2 向量值测度的总变差与半变差313

1.3 向量值测度的绝对连续性317

2 向量值函数关于数值测度的积分320

2.1 向量值函数的可测性320

2.2 Dunford积分与Pettis积分324

2.3 Bochner积分328

3 关于向量值测度的积分335

3.1 数值函数关于向量值测度的积分336

3.2 Bartle积分344

4 Radon-Nikodym性质348

4.1 Radon-Nikodym性质348

4.2 可表示算子352

符号索引356

术语索引360

参考文献370