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第1章 数理逻辑与推理基础1

1.1 命题逻辑1

1.1.1 命题及其表示法1

1.1.2 逻辑联结词2

1.1.3 命题公式3

1.1.4 命题等价定律5

1.1.5 命题公式的范式9

1.1.6 蕴涵关系16

1.1.7 推理17

1.2 谓词逻辑24

1.2.1 谓词的概念与谓词公式24

1.2.2 谓词逻辑公式27

1.2.3 量词等价定律29

1.2.4 谓词公式的范式31

1.2.5 谓词逻辑的推理33

1.3 归纳方法41

1.3.1 数学归纳法的形式41

1.3.2 数学归纳法的应用42

第2章 集合与函数47

2.1 集合的概念47

2.2 集合的运算50

2.3 笛卡儿积56

2.4 函数58

2.5 容斥原理60

2.6 无限集的基数比较63

2.7 与整数有关的函数及其应用67

2.7.1 从R到Z的常用函数67

2.7.2 从Z×Z到Z的常用函数68

2.7.3 余数函数68

2.7.4 模与余数的应用69

2.7.5 整数的进制表示73

第3章 二元关系76

3.1 二元关系的概念76

3.2 二元关系的运算77

3.3 二元关系的性质82

3.4 等价关系90

3.4.1 等价关系的概念90

3.4.2 等价关系的运算92

3.4.3 等价关系的运算与划分的关系93

3.5 半序关系95

3.6 字典顺序和拓扑排序101

3.6.1 字典顺序101

3.6.2 拓扑排序102

3.7 格与布尔代数104

第4章 图论基础108

4.1 图的概念108

4.1.1 图的术语108

4.1.2 图的模型112

4.2 道路与图的连通性113

4.3 图的矩阵表示115

4.4 加权图中的最短道路问题123

4.5 欧拉道路与哈密顿道路129

4.5.1 欧拉道路与欧拉回路129

4.5.2 欧拉定理的应用131

4.5.3 哈密顿道路与哈密顿回路133

4.5.4 哈密顿道路的应用137

4.6 平面图140

4.7 图的着色143

4.8 树148

4.8.1 无向树148

4.8.2 有根树150

4.8.3 二元树及其应用153

4.8.4 生成树159

4.8.5 最小生成树162

第5章 组合数学基础170

5.1 鸽巢原理170

5.2 计数与球盒模型175

5.2.1 基本计数原理175

5.2.2 典型计数问题178

5.2.3 环形排列的CP数184

5.3 递推关系191

5.4 生成函数198

5.4.1 生成函数的概念198

5.4.2 用生成函数解递推关系205

5.4.3 生成函数与计数208

5.5 排列与组合的生成算法213

第6章 代数系统220

6.1 代数系统基础220

6.1.1 二元运算与代数系统220

6.1.2 二元运算的性质222

6.1.3 代数系统的零元、单位元和逆元223

6.2 群226

6.3 陪集及其应用230

6.3.1 陪集与拉格朗日定理230

6.3.2 群码232

6.4 同构与同态234

6.5 环与域241

6.5.1 环与域的概念241

6.5.2 多项式环与循环码245

附录A 自然数集与数学归纳法原理249

附录B 级数公式253

参考文献254

参考答案255