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第1章　矩阵与线性方程组1

1.1　矩阵的基本运算1

1.1.1　矩阵与向量1

1.1.2　矩阵的基本运算3

1.1.3　向量的线性无关性与非奇异矩阵7

1.1.4　初等行变换与阶梯型矩阵8

1.1.5　基于初等行变换的矩阵方程求解10

1.2　向量空间、内积空间与线性映射14

1.2.1　集合的基本概念14

1.2.2　向量空间15

1.2.3　实内积空间18

1.2.4　复内积空间21

1.2.5　线性映射22

1.3　随机向量26

1.3.1　概率密度函数26

1.3.2　随机向量的统计描述28

1.3.3　正态随机向量32

1.4　内积与范数34

1.4.1　向量的内积与范数35

1.4.2　向量的相似度39

1.4.3　正交向量在移动通信中的应用41

1.4.4　向量范数用作Lyapunov函数43

1.4.5　矩阵的范数与内积44

1.5　基与Gram-Schmidt正交化47

1.5.1　向量子空间的基47

1.5.2 Gram-Schmidt正交化50

1.6　矩阵的标量函数52

1.6.1　矩阵的二次型53

1.6.2　矩阵的迹54

1.6.3　行列式56

1.6.4　矩阵的秩59

1.7.1　逆矩阵的定义与性质64

1.7　逆矩阵64

1.7.2　矩阵求逆引理68

1.8 广义逆矩阵71

1.8.1　左逆矩阵与右逆矩阵72

1.8.2　广义逆矩阵的定义及性质74

1.8.3　广义逆矩阵的计算77

1.8.4　一致方程的最小范数解80

1.8.5　非一致方程的最小二乘解83

1.9 Moore-Penrose逆矩阵85

1.9.1 Moore-Penrose逆矩阵的定义与性质85

1.9.2 Moore-Penrose逆矩阵的计算90

1.9.3　非一致方程的最小范数最小二乘解94

1.9.4 广义逆矩阵的阶数递推计算95

1.9.5　超定二维超越方程的求解96

1.10 Hadamard积与Kronecker积100

1.10.1　矩阵的直和100

1.10.2 Hadamard积101

1.10.3　矩阵化函数和向量化函数105

1.10.4 Kronecker积107

1.10.5 Kronecker积的应用114

本章小结118

习题118

2.1 对称矩阵、Hermitian矩阵与循环矩阵133

第2章　特殊矩阵133

2.2　基本矩阵136

2.3　置换矩阵、互换矩阵与选择矩阵139

2.3.1　置换矩阵与互换矩阵139

2.3.2 广义置换矩阵143

2.3.3　选择矩阵144

2.4　正交矩阵与酉矩阵145

2.5　带型矩阵与三角矩阵150

2.5.1　带型矩阵150

2.5.2　三角矩阵151

2.6.1　求和向量与中心化矩阵153

2.6　中心化矩阵与对角加矩阵153

2.6.2 对角加矩阵156

2.7　相似矩阵与相合矩阵158

2.7.1　相似矩阵158

2.7.2　相合矩阵160

2.8 Vandermonde矩阵与Fourier矩阵161

2.8.1 Vandermonde矩阵162

2.8.2 Fourier矩阵166

2.9 Hankel矩阵169

2.10 Hadamard矩阵172

习题174

本章小结174

第3章　Toeplitz矩阵179

3.1　半正定性179

3.2 Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解181

3.2.1　经典Levinson递推182

3.2.2 Levinson算法183

3.2.3　分基Schur算法189

3.2.4 HermitianLevinson递推190

3.2.5　多信道Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解194

3.3　求解Toeplitz线性方程组的快速算法195

3.3.1　循环镶嵌196

3.3.2 Toeplitz矩阵的部分求逆197

3.3.3 Toeplitz线性方程组求解198

3.4 Toeplitz矩阵的快速余弦变换200

本章小结204

第4章　矩阵的变换与分解205

4.1 Householder变换205

4.1.1 Householder变换与Householder矩阵206

4.1.2 Householder变换的保范性208

4.1.3 Householder变换算法210

4.2.1　反射与旋转214

4.2 Givens旋转214

4.2.2 Givens旋转216

4.2.3　快速Givens旋转218

4.2.4 Kogbetliantz算法220

4.3　矩阵的标准型221

4.4　矩阵分解的分类222

4.5　对角化分解224

4.6 Cholesky分解与LU分解225

4.6.1 Cholesky分解225

4.6.2 LU分解227

4.7.1 QR分解的性质229

4.7 QR分解及其应用229

4.7.2　采用修正Gram-Schmidt法的QR分解230

4.7.3 HouseholderQR分解232

4.7.4 采用Givens旋转的QR.分解236

4.7.5 基于QR分解的参数估计问题237

4.7.6 基Householder变换的快速时变参数估计240

4.7.7 基于Givens旋转的时变参数估计242

4.8 三角-对角化分解244

4.8.1 LDMT和LDLT分解244

4.8.2 Schur分解245

4.9　三对角化分解248

4.10　矩阵束的分解250

本章小结252

习题252

第5章　梯度分析与最优化255

5.1　梯度与无约束最优化255

5.1.1　目标函数的极小点255

5.1.2　实值函数相对于实向量的梯度258

5.1.3　实值函数的梯度矩阵261

5.1.4　迹函数的梯度矩阵262

5.1.5　行列式的梯度矩阵266

5.1.6 Hessian矩阵268

5.1.7　局部极小点的条件270

5.2　矩阵微分及其在最优化中的应用271

5.2.1　矩阵微分与偏导271

5.2.2　标量函数的梯度277

5.2.3　二阶微分矩阵与Hessian矩阵282

5.3　共轭梯度与无约束最优化285

5.3.1　实值函数相对于复变量的偏导数286

5.3.2　标量函数相对于复向量的梯度287

5.3.3　迹函数的共轭梯度292

5.3.4 Hessian矩阵（共轭梯度的梯度）295

5.4　约束最优化297

5.4.1 部解的一阶必要条件298

5.4.2 局部解的二阶条件302

5.4.3　线性约束的消去304

5.4.4　线性约束的二次规划305

5.5　梯度算法310

5.5.1　统计逼近法310

5.5.2 LMS算法及其变型312

5.5.3　解相关LMS算法314

5.6　递推最小二乘算法317

5.7　共轭梯度算法320

5.7.1　共轭方向算法321

5.7.2　共轭梯度算法326

5.7.3　自适应滤波的共轭梯度算法329

5.8　仿射投影算法331

5.9　自然梯度算法333

本章小结336

习题336

第6章　奇异值分析341

6.1　数值稳定性与条件数341

6.2　奇异值分解344

6.2.1　奇异值分解及其解释344

6.2.2　奇异值的性质348

6.2.3　奇异值的性质汇总352

6.2.4　秩亏缺最小二乘解354

6.3　奇异值分解的数值计算358

6.3.1　奇异值分解的QR分解算法359

6.3.2　奇异值分解的精确计算360

6.4　乘积奇异值分解361

6.4.1　乘积奇异值分解问题362

6.4.2　乘积奇异值分解的三角型Kogbetliantz算法363

6.4.3　乘积奇异值分解的精确计算365

6.5　广义奇异值分解367

6.5.1　对称正定问题367

6.5.2 广义奇异值分解369

6.5.3 广义奇异值分解的实际算法374

6.5.4　二次型不等式约束最小二乘378

6.6　约束奇异值分解381

6.6.1　约束奇异值381

6.6.2　约束奇异值分解383

6.7 结构奇异值385

6.7.1　结构奇异值的定义与性质385

6.7.2 结构奇异值的计算387

6.8　奇异值分解的应用389

6.8.1　静态系统的奇异值分解390

6.8.2　系统辨识392

6.8.3　阶数确定394

6.8.4　系统的可控性397

6.8.5　图像压缩398

6.9　广义奇异值分解的应用398

本章小结400

习题401

第7章　总体最小二乘方法403

7.1　最小二乘方法403

7.1.1　参数的唯一可辨识性403

7.1.2 Gauss-Markov定理405

7.2.1　总体最小二乘解408

7.2　总体最小二乘：理论与方法408

7.2.2　总体最小二乘解的性能413

7.3　总体最小二乘：应用418

7.3.1　总体最小二乘拟合418

7.3.2　频率估计的总体最小二乘法423

7.3.3 FIR自适应滤波的总体最小二乘算法428

7.4　约束总体最小二乘431

7.4.1　约束总体最小二乘方法432

7.4.2　约束总体最小二乘与极大似然的关系435

7.4.3　约束总体最小二乘解的扰动分析437

7.4.4　应用439

7.4.5　正则化约束总体最小二乘图像恢复440

7.5　结构总体最小二乘442

7.5.1　结构总体最小二乘解442

7.5.2　逆迭代算法443

7.5.3　约束总体最小二乘与结构总体最小二乘的等价性445

7.5.4　秩亏缺Hankel矩阵逼近446

7.5.5　有噪声的实现问题447

本章小结450

习题451

8.1.1　特征值问题453

8.1　特征值问题与特征方程453

第8章　特征分析453

8.1.2　特征多项式454

8.2　特征值与特征向量456

8.2.1　特征值456

8.2.2　特征向量458

8.2.3　与其他矩阵函数的关系462

8.2.4　特征值和特征向量的性质466

8.2.5　矩阵的可对角化定理471

8.3.1 Cayley-Hamilton定理474

8.3 Cayley-Hamilton定理及其应用474

8.3.2　逆矩阵和广义逆矩阵的计算476

8.3.3　矩阵幂的计算478

8.3.4　矩阵指数函数的计算479

8.4 Hermitian矩阵的特征值分解484

8.4.1 Hermitian矩阵的特征值和特征向量485

8.4.2 Hermitian矩阵的正定性487

8.4.3　对称正定特征值问题的Jacobi算法492

8.5 Fourier矩阵与Toeplitz矩阵的特征值分解493

8.5.1 Fourier矩阵的特征值493

8.5.2　Toeplitz矩阵的特征值分解495

8.6.1　特征问题的扰动分析498

8.6　特征问题与奇异值问题的扰动分析498

8.6.2　奇异值问题的扰动分析500

8.7　特征值分解的几种典型应用501

8.7.1　标准正交变换与迷向圆变换501

8.7.2 Pisarenko谐波分解503

8.7.3　离散Karhunen-Loeve变换506

8.7.4　主分量分析508

8.7.5　降秩Wiener滤波器513

8.8　广义特征值分解515

8.8.1　广义特征值分解及其性质516

8.8.2　广义特征值分解算法519

8.8.3　广义特征值分解的总体最小二乘方法520

8.8.4　应用举例——ESPRIT方法521

8.8.5　相似变换在广义特征值分解中的应用525

8.9 Rayleigh商528

8.9.1 Rayleigh商528

8.9.2　应用举例1：特征滤波器532

8.9.3　应用举例2：快速最大似然序列解码535

8.9.4 Rayleigh商迭代537

8.9.5　Rayleigh商问题求解的共轭梯度算法538

8.10　广义Rayleigh商540

8.10.1　广义Rayleigh商540

8.10.2　应用举例1：类鉴别有效性的评估541

8.10.3　应用举例2：干扰抑制的鲁棒波束形成546

8.11　二次特征值问题548

8.11.1　二次特征值问题的描述548

8.11.2　二次特征值问题求解550

8.11.3　λ矩阵的逆矩阵555

8.11.4　应用举例1：AR参数估计558

8.11.5　应用举例2：约束最小二乘560

8.11.6　应用举例3：多输入-多输出系统561

8.12　联合对角化562

8.12.1　联合对角化问题562

8.12.2　近似联合对角化算法565

8.12.3　近似联合对角化的另一种解法569

8.13　特征分析与Fourier分析571

8.13.1　线性算子571

8.13.2 Fourier分析与特征分析573

本章小结579

习题579

第9章　子空间分析与跟踪589

9.1　子空间的一般理论589

9.1.1　子空间的基589

9.1.2　无交连、正交与正交补592

9.1.3　子空间的正交投影与夹角595

9.1.4　主角与补角597

9.1.5　子空间的旋转598

9.1.6　信号空间的线性无关性599

9.2　列空间、行空间与零空间601

9.2.1　矩阵的列空间、行空间与零空间601

9.2.2　子空间的基构造：初等变换法605

9.2.3　基本空间的标准正交基构造：奇异值分解法609

9.2.4　构造两个零空间交的标准正交基612

9.3　子空间方法613

9.3.1　信号子空间与噪声子空间613

9.3.2　子空间方法1：多重信号分类（MUSIC）615

9.3.3　子空间方法2：方程X＝AS求解617

9.3.4　子空间白化619

9.4　子空间跟踪方法的分类621

9.5　基于扰动理论的子空间跟踪622

9.5.1　秩1更新与扰动理论623

9.5.2　无退化扰动子空间跟踪625

9.5.3　退化扰动子空间跟踪628

9.6　修正特征值分解及其递推更新630

9.6.1　修正特征值问题630

9.6.2　秩1修正634

9.6.3　秩2修正636

9.7.1 Grassmann流形和Stiefel流形637

9.7　基于优化理论的子空间跟踪637

9.7.2　投影逼近子空间跟踪642

9.8　快速子空间分解647

9.8.1 Rayleigh-Ritz逼近647

9.8.2　基于三Lanczos迭代的快速子空间分解650

9.8.3　基于双Lanczos迭代的快速子空间分解651

本章小结652

习题653

10.1　投影与正交投影657

第10章　投影分析657

10.1.1　投影定理658

10.1.2　均方估计660

10.2　投影矩阵与正交投影矩阵662

10.2.1　幂等矩阵662

10.2.2　从数学角度看投影矩阵664

10.2.3　从信号处理角度看投影矩阵668

10.2.4　到列空间的投影矩阵与正交投影矩阵669

10.2.5　正交投影矩阵671

10.2.6　投影矩阵的导数672

10.3.1　投影梯度674

10.3　投影矩阵与正交投影矩阵的应用举例674

10.3.2　解相关676

10.3.3　前向预测滤波器的表示677

10.3.4 后向预测滤波器的表示678

10.4　投影矩阵和正交投影矩阵的更新681

10.5　格型自适应滤波器设计682

10.6　满列秩矩阵的斜投影算子687

10.6.1　斜投影算子的定义688

10.6.2　斜投影算子的性质690

10.6.3　斜投影算子的几何解释694

10.6.4　主角与斜投影矩阵的关系696

10.6.5　多个子空间的斜投影算子697

10.7　满行秩矩阵的斜投影算子698

10.7.1 满行秩矩阵的斜投影算子定义699

10.7.2　斜投影的计算700

10.8　斜投影算子的应用702

10.8.1　系统建模702

10.8.2　信道与字符联合估计704

本章小结708

习题708

参考文献711

索引737