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第1章 绪论与预备知识1

1.1 泛函分析的产生1

1.2 泛函分析的特点和内容及应用2

1.3 可列集与不可列集3

1.3.1 映射3

1.3.2 可列集与不可列集，集合的势4

1.4 直线上的点集与连续函数7

1.4.1 开集、闭集及其性质7

1.4.2 开集的构造9

1.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性11

1.4.4 函数列的一致收敛性12

1.5 点集的勒贝格测度与可测函数15

1.5.1 从黎曼积分到勒贝格积分15

1.5.2 点集的勒贝格测度18

1.5.3 可测函数22

1.6 勒贝格积分25

1.6.1 勒贝格积分的定义及其基本性质25

1.6.2 积分序列的极限定理30

习题135

第2章 度量空间37

2.1 度量空间的基本概念37

2.2 度量空间中的开集、闭集与连续映射44

2.2.1 度量空间中的开集与闭集44

2.2.2 度量空间上的连续映射46

2.3 度量空间的可分性与完备性48

2.3.1 度量空间的可分性48

2.3.2 度量空间的完备性49

2.3.3 度量空间的完备化51

2.4 压缩映射原理及其应用51

2.5 列紧性与紧性55

习题260

第3章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子61

3.1 线性赋范空间与巴拿赫空间61

3.1.1 线性空间62

3.1.2 线性赋范空间与巴拿赫空间65

3.1.3 线性赋范空间的基本性质66

3.1.4 有限维线性赋范空间67

3.2 有界线性算子与有界线性泛函70

3.2.1 有界线性算子的定义及性质70

3.2.2 线性算子空间73

3.2.3 有界线性泛函与共轭空间75

3.3 内积空间与希尔伯特空间82

3.3.1 内积空间、希尔伯特空间的定义82

3.3.2 正交分解与投影定理84

3.3.3 希尔伯特空间中的正交系89

3.3.4 可分希尔伯特空间及同构性94

3.3.5 希尔伯特空间的自共轭性96

3.4 共轭算子与自共轭算子98

3.4.1 巴拿赫空间中的共轭算子98

3.4.2 希尔伯特空间的自共轭空间算子100

习题3102

第4章 泛函分析基本定理与谱论简介104

4.1 巴拿赫空间的基本定理104

4.1.1 半序集-佐恩引理104

4.1.2 汉恩-巴拿赫定理106

4.1.3 一致有界定理107

4.1.4 巴拿赫逆算子定理与闭图像定理108

4.1.5 弱收敛114

4.2 谱论简介119

4.2.1 谱的概念及性质120

4.2.2 黎斯-箫德尔理论简介123

4.2.3 自共轭算子谱论初步124

习题4127

第5章 非线性分析初步129

5.1 微分理论129

5.2 不动点理论133

5.3 动力系统139

5.4 凸集与凸分析理论初步143

5.5 极值理论148

5.6 拓扑度理论简介152

5.6.1 引言152

5.6.2 拓扑度的概念153

5.6.3 Brouwer度的应用155

5.6.4 Leray-Schander度156

5.6.5 Leray-Schander度的应用158

5.7 Sobolev空间简介159

参考文献164