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第34章 19世纪的数论813

1.引言813

2.同余理论813

3.代数数818

4.戴德金的理想822

5.型的理论826

6.解析数论829

第35章 射影几何学的复兴834

1.对几何学的兴趣的恢复834

2.综合的欧几里得几何学837

3.综合的射影几何学的复兴840

4.代数的射影几何学852

5.高次平面曲线和高次曲面855

第36章 非欧几里得几何861

1.引言861

2.1800年左右欧几里得几何的情况861

3.平行公理的研究863

4.非欧几里得几何的先兆867

5.非欧几里得几何的诞生869

6.非欧几里得几何的技术性内容874

7.罗巴切夫斯基与约翰·波尔约发明先后的争议877

8.非欧几里得几何的重要意义879

第37章 高斯和黎曼的微分几何882

1.引言882

2.高斯的微分几何882

3.黎曼研究几何的途径889

4.黎曼的继承者896

5.微分形式的不变量899

第38章 射影几何与度量几何904

1.引言904

2.作为非欧几里得几何模型的曲面904

3.射影几何与度量几何906

4.模型与相容性问题913

5.从变换观点来看待几何917

6.非欧几里得几何的现实921

第39章 代数几何924

1.背景924

2.代数不变量理论925

3.双有理变换概念932

4.代数几何的函数理论法934

5.单值化问题937

6.代数几何方法939

7.算术方法942

8.曲面的代数几何943

第40章 分析中注入严密性947

1.引言947

2.函数及其性质949

3.导数954

4.积分956

5.无穷级数961

6.傅里叶级数966

7.分析的状况972

第41章 实数和超限数的基础979

1.引言979

2.代数数与超越数980

3.无理数的理论982

4.有理数的理论987

5.实数系的其他处理990

6.无穷集合的概念992

7.集合论的基础994

8.超限基数与超限序数998

9.集合论在20世纪初的状况1002

第42章 几何基础1005

1.欧几里得中的缺陷1005

2.对射影几何学基础的贡献1007

3.欧几里得几何的基础1010

4.一些有关的基础工作1015

5.一些未解决的问题1017

第43章 19世纪的数学1023

1.19世纪发展的主要特征1023

2.公理化运动1026

3.作为人的创造物的数学1028

4.真理的丧失1032

5.作为研究任意结构的数学1036

6.相容性问题1038

7.向前的一瞥1039

第44章 实变函数论1040

1.起源1040

2.斯蒂尔切斯积分1041

3.有关容量和测度的早期工作1041

4.勒贝格积分1044

5.推广1050

第45章 积分方程1052

1.引言1052

2.一般理论的开始1056

3.希尔伯特的工作1060

4.希尔伯特的直接继承者1070

5.理论的推广1073

第46章 泛函分析1076

1.泛函分析的性质1076

2.泛函的理论1077

3.线性泛函分析1081

4.希尔伯特空间的公理化1091

第47章 发散级数1096

1.引言1096

2.发散级数的非正式应用1098

3.渐近级数的正式理论1103

4.可和性1109

第48章 张量分析和微分几何1122

1.张量分析的起源1122

2.张量的概念1123

3.协变微分1127

4.平行位移1130

5.黎曼几何的推广1133

第49章 抽象代数的出现1136

1.19世纪历史背景1136

2.抽象群论1137

3.域的抽象理论1146

4.环1150

5.非结合代数1153

6.抽象代数的范围1156

第50章 拓扑的开始1158

1.拓扑是什么1158

2.点集拓扑1159

3.组合拓扑的开始1163

4.庞加莱在组合拓扑方面的工作1170

5.组合不变量1176

6.不动点定理1177

7.定理的推广和领域的扩展1179

第51章 数学基础1182

1.引言1182

2.集合论的悖论1183

3.集合论的公理化1185

4.数理逻辑的兴起1187

5.逻辑派1192

6.直观派1197

7.形式派1203

8.一些新近的发展1208