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第1章　微积分1

1.1　函数与极限1

1.1.1　函数的基本概念1

1.1.2　初等函数5

1.1.3　数列的极限9

1.1.4　函数的极限10

1.1.5　无穷小与无穷大14

1.1.6　极限的运算法则16

1.1.7　极限存在的准则，两个重要极限19

1.1.8　无穷小的比较23

1.1.9　函数的连续性与间断点24

1.1.10　闭区间上连续函数的性质27

习题1.128

1.2.1　导数的概念30

1.2　导数与微分30

1.2.2　初等函数的导数33

1.2.3　高阶导数39

1.2.4　隐函数的导数40

1.2.5　函数的微分42

习题1.245

1.3　中值定理与导数的应用46

1.3.1　中值定理46

1.3.2　洛必达法则50

1.3.3　泰勒公式52

1.3.4　函数单调性的判定54

1.3.5　函数的极值与最值56

1.3.6　曲线的凹向与拐点57

习题1.359

1.4　不定积分60

1.4.1　不定积分的概念与性质60

1.4.2　一类换元积分法与分部积分法62

1.4.3　二类换元积分法67

习题1.469

1.5　定积分71

1.5.1　定积分的概念71

1.5.2　定积分的性质73

1.5.3　微积分基本公式75

1.5.4　定积分的计算77

1.5.5　广义积分80

1.5.6　定积分的应用82

习题1.589

1.6　常微分方程简介90

1.6.1　微分方程的基本概念90

1.6.2　一阶微分方程91

1.7　无穷级数96

1.7.1　常数项级数的概念与性质96

习题1.696

1.7.2　常数项级数的审敛法100

1.7.3　幂级数107

1.7.4　函数的幂级数展开112

1.7.5　傅里叶级数115

习题1.7123

参考资料124

第2章　线性代数126

2.1　行列式126

2.1.1　二阶和三阶行列式126

2.1.2　n阶行列式的概念127

2.1.3　行列式的性质130

2.1.4　行列式按某一行（列）展开133

2.1.5　克拉默法则136

习题2.1139

2.2.1　矩阵的概念140

2.2　矩阵140

2.2.2　矩阵的运算141

2.2.3　几种特殊的矩阵144

2.2.4　逆矩阵145

2.2.5　矩阵的初等变换148

习题2.2154

2.3　向量与线性方程组156

2.3.1　消元法156

2.3.2　向量的基本概念161

2.3.3　向量间的线性关系163

2.3.4　向量组的极大无关组166

2.3.5　正交向量组与正交矩阵168

2.3.6　向量空间170

2.3.7　线性方程组解的结构172

习题2.3177

2.4　矩阵的特征值178

2.4.1　矩阵的特征值与特征向量178

2.4.2　相似矩阵181

2.4.3　实对称矩阵的对角化184

习题2.4185

2.5　二次齐式186

2.5.1　二次齐式及其矩阵表示186

2.5.2　线性变换与合同矩阵187

2.5.3　化二次型为标准形191

2.5.4　规范形196

2.5.5　正定二次型199

习题2.5201

参考资料202

3.1　数值计算中的误差203

3.1.1　引言203

第3章　计算方法203

3.1.2　误差204

3.1.3　在近似计算中需要注意的一些问题206

3.2　非线性方程及方程组的解法207

3.2.1　引言207

3.2.2　求实根的对分区间法208

3.2.3　迭代法211

3.2.4　迭代过程的加速215

3.2.5　牛顿迭代法217

3.2.6　弦截法219

习题3.2220

3.3　线性方程组的解法221

3.3.1　Gauss消去法222

3.3.2　主元素消去法225

3.3.3　LU分解227

3.3.4　解线性方程组的迭代法229

习题3.3236

3.4　线性插值236

3.4.1　引言236

3.4.2　线性插值238

3.4.3　二次插值240

3.4.4　n次插值243

3.4.5　分段插值法249

3.4.6　Hermite插值251

3.4.7　分段三次Hermite插值253

3.4.8　曲线拟合256

习题3.4259

3.5　数值积分261

3.5.1　几种求积公式261

3.5.2　两种求积公式的误差估计263

3.5.3　复合公式及其误差估计264

3.5.4　Richardson外推算法267

3.5.5　Romberg求积法268

3.5.6　高斯（Gauss）型求积公式270

习题3.5274

参考资料274

第4章　离散数学275

4.1　命题逻辑275

4.1.1　命题与联结词275

4.1.2　命题与公式279

4.1.3　等值演算282

4.1.4　析取范式285

4.1.5　主合取范式288

4.1.6　推理理论290

习题4.1294

4.2　一阶逻辑295

4.2.1　一阶逻辑的基本概念296

4.2.2　一阶语言及其解释298

4.2.3　等值演算303

4.2.4　前束范式304

4.2.5　推理理论305

习题4.2309

4.3　集合的概念与运算310

4.3.1　集合的基本概念310

4.3.2　集合的运算311

4.3.3　有限集合的计数314

习题4.3315

4.4　关系和函数316

4.4.1　有序偶和笛卡儿积316

4.4.2　关系的基本概念317

4.4.3　关系的运算318

4.4.4　关系的性质320

4.4.5　关系的闭包322

4.4.6　等价关系与划分325

4.4.7　偏序关系326

4.4.8　函数的基本概念与性质331

4.4.9　函数的复合335

4.4.10　反函数338

习题4.4339

4.5　代数系统概述341

4.5.1　二元运算及其性质341

4.5.2　代数系统348

习题4.5350

4.6　几种典型的代数系统351

4.6.1　半群，幺半群，群351

4.6.2　子群355

4.6.3　环和域357

4.6.4　格和布尔代数360

4.6.5　代数系统的同态与同构363

习题4.6365

4.7　图的基本概念366

4.7.1　无向图与有向图367

4.7.2　通路、回路、图的连通性371

4.7.3　带权图与最短通路373

4.7.4　图的矩阵表示375

习题4.7379

4.8　树380

4.8.1　树与生成树381

4.8.2　根树及其应用385

习题4.8391

4.9　几类特殊的图392

4.9.1　欧拉图与哈密顿图392

4.9.2　二部图395

4.9.3　平面图397

习题4.9402

4.10　形式语言与自动机403

4.10.1　形式语言与形式文法403

4.10.2　有穷自动机407

4.10.3　有穷自动机与正则文法413

4.10.4　图灵机416

习题4.10422

参考资料424

第5章　概率论425

5.1　随机事件与概率425

5.1.1 随机事件425

5.1.2　随机事件的概率428

5.1.3　条件概率与事件的独立性430

习题5.1436

5.2.1　离散型随机变量437

5.2　随机变量与概率分布437

5.2.2　连续型随机变量442

5.2.3　分布函数445

5.2.4　随机变量的函数449

习题5.2452

5.3　随机变量的数字特征453

5.3.1　期望454

5.3.2　方差458

习题5.3463

5.4　大数定律与中心极限定理464

5.4.1　大数定律464

5.4.2　中心极限定理467

习题5.4469

附表1　标准正态分布上侧临界值表471

附表2　泊松分布数值表472

参考资料473

6.1　傅里叶变换474

6.1.1　傅里叶积分474

第6章　积分变换474

6.1.2　傅里叶变换的基本概念479

6.1.3　δ函数483

6.1.4　傅里叶变换的性质485

习题6.1488

6.2　拉普拉斯变换489

6.2.1　拉普拉斯变换的基本概念489

6.2.2　拉普拉斯变换的性质492

6.2.3　拉氏变换的逆变换495

6.2.4　拉氏变换在微分方程求解中的应用497

6.3　卷积分499

6.3.1　卷积分的基本概念499

习题6.2499

6.3.2　分段函数的卷积分500

6.3.3　卷积分的性质506

6.3.4　序列的卷积507

习题6.3509

6.4　Z变换509

6.4.1　Z变换的基本概念509

6.4.2　Z变换的性质510

6.4.3　Z逆变换515

习题6.4518

6.5　小波变换519

6.5.1　小波变换的基本概念519

6.5.2　连续小波变换的性质与离散小波521

6.5.3　正交小波及例子522

6.5.4　构造正交小波基的多尺度分析方法526

参考资料532