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第1章 绪论1

1.1 现代科学体系结构1

1.2 自然世界、科学和数学世界及计算机世界3

1.3 初等数学、高等数学和现代数学5

1.4 基本术语6

第2章 实数集合及映射10

2.1 对实数集合的一般认识10

2.2 实数集合的拓扑结构和完备性12

2.2.1 实数集合的拓扑结构12

2.2.2 实数集合完备性的类比作用15

2.3 实数集合的映射17

2.4 实数集合的测度18

2.5 可测函数的勒贝格积分20

思考题31

第3章 n维欧式空间Rn及映射36

3.1 Rn的拓扑结构37

3.1.1 Rn是完备距离空间37

3.1.2 Rn中距离函数举例37

3.2 Rn的代数结构39

3.2.1 Rn是完备线性空间39

3.2.2 Rn是完备线性赋范空间40

3.2.3 Rn是完备内积空间42

3.3 Rn空间的映射52

3.3.1 Rn和Rm之间的非线性映射52

3.3.2 Rn到Rm的线性映射53

3.3.3 Rn到Rm（m=n）的同构线性映射53

3.3.4 Rn到Rm（m＞n）映射过定线性方程组62

3.3.5 Rn到Rm（m＜n）的映射欠定线性方程组66

3.3.6 Rn到Rm映射的一般情况69

思考题71

第4章 抽象空间82

4.1 测度无限函数空间82

4.1.1 测度无限p幂可积函数空间Lp,p≥182

4.1.2 L1空间和L∞空间84

4.1.3 L2空间86

4.1.4 L1∩L2空间87

4.2 测度有限函数空间90

4.2.1 测度有限p幂可积函数空间Lp[0,2π],p≥190

4.2.2 L2［0,2π］函数空间91

4.3 有界数列空间100

4.3.1 p幂可和无限数列空间lp,1≤p＜+∞100

4.3.2 平方可和数列空间l2102

4.3.3 离散时间数列的傅里叶变换104

4.4 发散函数空间和发散数列空间107

思考题108

第5章 抽象空间映射112

5.1 线性映射113

5.2 有界线性算子和有界线性算子空间114

5.2.1 有界线性算子和有界线性算子空间定义114

5.2.2 有界线性算子范数115

5.2.3 有界线性算子加法、乘法及算子序列收敛性116

5.2.4 有界线性算子的逆运算118

5.3 有界线性泛函与共轭空间121

5.3.1 有界线性泛函与共轭空间定义121

5.3.2 有界线性泛函的延拓122

5.3.3 重要线性赋范空间上的有界线性泛函和共轭空间123

5.3.4 有界线性泛函和共轭空间的一般形式及二次共轭126

5.4 有界线性算子的共轭算子127

5.4.1 共轭算子的定义和一般性质127

5.4.2 重要线性赋范空间有界线性算子和共轭算子129

5.5 积分变换与级数变换133

5.5.1 积分变换和级数变换的一般形式134

5.5.2 傅里叶积分变换135

5.5.3 傅里叶级数变换135

5.5.4 卷积积分变换138

5.5.5 相关积分变换143

5.5.6 连续积分小波变换及小波级数展开148

5.5.7 线性系统分类153

思考题155

第6章 概率基础及随机向量164

6.1 概率空间定义164

6.2 随机变量及其概率分布166

6.2.1 随机变量166

6.2.2 随机变量概率分布166

6.2.3 随机变量的数字表征173

6.2.4 相关系数和协方差174

6.2.5 随机变量独立、不相关与正交176

6.3 随机向量和随机过程180

6.3.1 随机向量的概率密度、一阶矩和二阶矩182

6.3.2 随机向量去相关和协方差矩阵对角化185

6.3.3 随机向量、均值向量和协方差矩阵的估值188

6.3.4 随机过程的相关函数和协方差函数189

6.3.5 平稳随机过程191

6.3.6 各态历经平稳随机过程194

6.3.7 非平稳随机过程的功谱密度函数196

6.3.8 高斯随机过程196

6.3.9 白噪声过程和高斯白噪声过程198

6.3.10 随机过程分类200

6.4 正规方程和线性最小二乘估值201

6.4.1 正规方程及最小二乘解202

6.4.2 线性最小二乘（均方）逼近203

6.4.3 线性最小二乘（均方）估值204

6.4.4 时间序列的AR模型和ARMA模型——正规方程的一种应用208

思考题212

后记217

参考文献220