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第1章 线性方程组与矩阵1

1.1 线性方程组1

1.1.1 线性方程组的概念1

1.1.2 非齐次线性方程组的解法2

1.1.3 齐次线性方程组的解法5

1.2 矩阵与向量6

1.2.1 矩阵与向量的概念6

1.2.2 矩阵的初等变换12

1.3 阅读材料 经济数学中的线性模型20

1.3.1 价格平衡模型20

1.3.2 投入产出模型21

习题124

第2章 方阵的行列式26

2.1 n阶行列式的定义26

2.2 n阶行列式的性质30

2.2.1 代数余子式展开性质30

2.2.2 初等变换性质34

2.3 行列式的计算举例37

2.4 行列式的应用47

2.4.1 矩阵的秩47

2.4.2 克拉默法则50

2.5 阅读材料 行列式的历史与发展52

习题253

第3章 矩阵与向量的运算56

3.1 矩阵与向量的线性运算56

3.1.1 矩阵的加法和数乘56

3.1.2 向量的加法和数乘58

3.2 矩阵的乘法60

3.2.1 矩阵乘法的定义60

3.2.2 矩阵乘法的性质64

3.2.3 方阵的幂与方阵的多项式66

3.3 向量的内积与向量的正交性68

3.3.1 向量的内积69

3.3.2 向量的正交性与正交矩阵70

3.4 逆矩阵71

3.4.1 逆矩阵的概念71

3.4.2 初等变换求逆矩阵75

3.4.3 利用逆矩阵求解矩阵方程80

3.5 矩阵的分块82

3.5.1 分块矩阵及其运算法则82

3.5.2 一些特殊的分块方法85

3.6 阅读材料 矩阵乘法的两个应用89

3.6.1 矩阵乘法在计算机图形学中的一个应用89

3.6.2 赌徒输光问题90

习题393

第4章 向量组与向量空间97

4.1 向量组的线性相关性97

4.1.1 引例97

4.1.2 向量组的线性相关性98

4.2 向量组的秩107

4.2.1 向量组的相互线性表示107

4.2.2 向量组的最大线性无关向量组与向量组的秩110

4.2.3 矩阵的行秩与列秩，向量组秩的求法111

4.3 向量空间117

4.3.1 向量空间和子空间117

4.3.2 向量空间的基与维数119

4.4 线性方程组解的结构120

4.4.1 齐次线性方程组120

4.4.2 非齐次线性方程组125

4.5 阅读材料 线性方程组的应用127

4.5.1 化学反应方程式的平衡127

4.5.2 网络流的管理129

习题4130

第5章 矩阵的特征值与特征向量133

5.1 特征值和特征向量133

5.2 相似矩阵与矩阵的对角化140

5.2.1 相似矩阵的概念140

5.2.2 矩阵的对角化142

5.3 施密特正交化方法与实对称矩阵的对角化145

5.3.1 施密特正交化方法145

5.3.2 实对称矩阵对角化147

5.4 阅读材料 矩阵对角化的两则应用153

5.4.1 人口迁移问题153

5.4.2 线性微分方程组求解155

习题5156

第6章 二次型159

6.1 二次型及其矩阵表示159

6.2 二次型化为标准形162

6.2.1 正交变换法162

6.2.2 初等变换法和配方法165

6.2.3 惯性定理169

6.3 正定二次型与正定矩阵170

6.4 阅读材料 主成分分析法176

习题6178

第7章 MATLAB软件在线性代数中的应用180

7.1 MATLAB软件基本介绍180

7.1.1 MATLAB的安装和启动180

7.1.2 命令窗口与文本编辑窗口的使用180

7.1.3 数组180

7.1.4 循环语句介绍181

7.2 用MATLAB求解线性代数中的问题181

7.2.1 行列式的计算182

7.2.2 矩阵的基本运算182

7.2.3 矩阵的初等变换及矩阵的秩186

7.2.4 求解线性方程组187

7.2.5 求矩阵的特征值和特征向量189

7.2.6 实对称矩阵对角化189

7.2.7 二次型的简化与正定化190

习题参考解答192

附录 用逆序法定义行列式的值217

参考文献223