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第一篇 电路理论中的常微分方程1

第一章 常微分方程的定解问题1

1.1 常微分方程及其定解问题1

1. 常微分方程的定义1

2. 方程的阶数和次数2

3. 方程的自由项和系数2

4. 方程的解和定解条件3

5. 线性方程的解的性质4

6. 微分方程组5

1.2 电路网络的定解问题6

1. RLC简单回路的定解问题6

2. 复杂线性电路的一阶方程组和高阶方程10

3. 线性电路的激励和响应11

4. 奇异函数及其应用12

5. 时变参量回路的微分方程16

6. 自激振荡回路的微分方程17

7. 非均匀传输线上简谐波的微分方程18

2. RL电路的断流和RC电路的放电过程20

1. 分离变量法解齐次方程20

第二章 线性方程定解问题的解20

2.1 一阶线性方程的解20

3. 常数变易法解非齐次方程21

4. RL电路的通流和RC电路的充电过程22

5. RL和RC电路的简谐响应23

6. RL和RC电路的冲激响应24

2.2 二阶线性方程解的性质25

1. 齐次方程的线性无关特解25

2. 非齐次方程的通解26

2.3 二阶常系数线性方程的解26

1. 特征方程法解齐次方程26

2. RLC回路的自然响应27

3. 特定系数法解非齐次方程29

4. RLC回路的简谐响应30

5. RLC回路的冲激响应31

2.4 运算微积法解常系数线性方程32

1. 拉氏变换的基本概念32

2. 拉氏变换简表34

3. 化微分方程为代数方程37

4. 化有理分式为分项分式38

5. 化微分方程组为代数方程组39

6. 双RLC耦合回路的简谱响应40

2.5 二阶变系数线性方程的解法42

1. 变量代换法及其应用42

2. 幂级数法概述44

3. 贝塞耳方程的解45

4. W.K.B.法解缓变系数振动方程47

第三章 特殊函数及有关的常微分方程49

3.1 切比雪夫函数类49

1. 切比雪夫方程的解49

2. 切比雪夫多项式的递推关系50

3. 切比雪夫多项式的函数图形51

4. 切比雪夫多项式的最佳一致逼近性质53

5. 应用于线性系统的综合技术54

6. 正交性和傅里叶-切比雪夫级数55

1. 纽曼函数和汉克尔函数57

3.2 贝塞耳函数类57

2. 整数阶贝塞耳函数类58

3. 修正贝塞耳函数类62

4. 球贝塞耳函数类65

5. 贝塞耳函数类的递推关系67

6. 整数阶贝塞耳函数的母函数69

7. 正交性和傅里叶-贝塞耳级数71

3.3 勒让德函数类73

1. 整数阶勒让德方程的解73

2. 勒让德函数的基本性质76

3. 正交性和傅里叶-勒让德级数78

4. 连带勒让德函数类80

3.4 马丢函数类82

1. 马丢方程及其解的性质82

2. 马丢方程的解83

3. 整数阶马丢函数的基本性质89

4. 整数阶修正马丢函数类91

4.1 非线性方程的解法93

第四章 非线性方程定解问题的解93

4.2 一阶非线性方程的解94

1. 可严格求积的方程类型94

2. 黎卡迪方程的性质96

3. 龙格-库塔法的计算格式97

4. 计算黎卡迪方程数值解的实例100

4.3 范德堡方程的解103

1. 范德堡方程的定解问题103

2. 微扰法求周期性稳态解104

3. 缓变振幅法求一级近似解108

4. 相平面图解法求定性解109

第二篇 电磁场理论的数学基础113

第五章 场函数的代数和几何性质113

5.1 场函数的基本概念113

1.矢量和场函数113

2. 二维场和一维场114

3. 等值线和场型图115

4. 时变场和时谐场115

1. 正交坐标系的基本类型116

5.2 广义正交坐标系116

2. 椭圆柱坐标系117

3. 正交坐标系的微分元118

5.3 矢量和并矢的代数运算126

1. 矢量代数的总结126

2. 并矢的定义129

3. 并矢的代数运算130

第六章 场函数的微积分学134

6.1 场函数的曲线积分134

1. 曲线方程和曲线积分134

2. 静电场的电位函数136

3. 线电荷的电场强度137

4. 静磁场问题中的曲线积分138

6.2 场函数的曲面积分139

1. 曲面方程和曲面积分139

2. 电荷源和电流源142

3. 电通量和磁通量144

4. 准静态场的电磁感应146

6.3 场函数的梯度147

1. 标量场的方向导数和梯度147

2. 静电场的电位梯度149

3. 场函数梯度定义的推广150

6.4 矢量场函数的散度152

1. 散度的定义和性质152

2. 高斯散度定理153

3. 电磁场高斯定理的微分形式154

4. 电流连续性原理155

6.5 矢量场函数的旋度156

1. 旋度的定义和性质156

2. 斯托克斯定理159

3. 时变电磁场定律的微分形式160

6.6 场函数的微分算符和恒等式162

1. 哈密顿一阶微分算符162

2. 二阶微分算符和恒等式162

3. 格林恒等式168

2. 在运动坐标系中的时间导数170

6.7 时变场函数对时间变量的微积分170

1. 在静止坐标系中的时间导数和积分170

第七章 电磁场基本方程组175

7.1 自由空间的麦克斯韦方程组175

1. 电磁场基本关系的框图175

2. 麦克斯韦方程组175

3. 电磁场及其源的对偶性质180

7.2 单一媒质的麦克斯韦方程组181

1. 媒质的电磁参量181

2. 各类媒质的麦克斯韦方程组183

3. 运动媒质185

7.3 两种简单媒质分界面上的条件187

1. 场强法向分量的边界条件187

2. 场强切向分量的边界条件188

3. 电流法向分量的连续性条件189

4. 边界条件方程组189

8.1 偏微分方程及其定解问题191

1. 偏微分方程的定义和阶、次191

第三篇 电磁场理论中的偏微分方程191

第八章 偏微分方程的定解问题191

2. 二阶线性方程和定解条件的类型192

3. 方程和定解问题的解193

8.2 传输线电路的偏微分方程194

1. 有源均匀传输线方程194

2. 均匀无耗耦合传输线方程196

3. 非均匀无耗传输线方程197

1. 简单媒质中的阻尼波动方程198

8.3 电磁场的偏微分方程198

2. 阻尼波动方程的各种退化形式199

3. 非均匀介质中的场方程201

4. 无源回旋媒质中的时谐场方程201

5. 无源运动媒质中的时谐场方程203

第九章 分离变量法解线性齐次方程定解问题205

9.1 一维波动方程定解问题的解205

1. 齐次方程和齐次边界条件的混合问题205

2. 分离变量法与傅里叶分析207

3. 齐次方程的初值问题208

4. 非齐次方程或/和边界条件的混合问题209

9.2 传输线和平面电磁波问题212

1. 无限长理想传输线上的行波212

2. 理想传输线段的短路放电响应213

3. 理想传输线电路的稳态响应213

4. 理想介质中的平面电磁波215

9.3 拉普拉斯方程边值问题的解218

1. 基本正交坐标系中的形式解218

3. 均匀静电场中介质球的干扰场型224

2. 同轴圆柱体间的一维静电场型224

4. 方盒形电极间的三维静电场型226

9.4 亥姆霍茨方程边值问题的解228

1. 基本正交坐标系中的形式解228

2. 柱形坐标系中场强分量的关系229

3. 圆柱形边值问题中本征函数的选择235

4. 圆柱导体对轴向极化平面波的散射236

5. 圆球坐标系中的径向模式237

1. 矩形波导管中的电磁场239

9.5 轴向导行波边值问题239

2. 圆形波导管中的电磁场242

3. 椭圆形波导管中的电磁场245

9.6 径向导行波边值问题247

1. 平行板径向波导中的电磁场247

2. 同轴双圆锥导体的径向横电磁场249

3. 圆球形空腔中的电磁场250

9.7 分离变量法的小结252

第十章 格林函数法解椭圆型方程边值问题254

10.1 空间冲激函数和格林函数254

1. 空间激励和空间响应254

2. 空间冲激函数254

3. 基本解和格林函数259

10.2 自由空间电磁场方程的格林函数260

1. 泊松方程的格林函数260

2. 非齐次亥姆霍茨方程的格林函数262

3. 矢量场亥姆霍茨方程的并矢格林函数265

1. 积分表达式和辅助边值问题266

10.3 格林函数法解静电场边值问题266

2. 矩形导体管内平行线电荷的场型269

3. 圆柱导体腔内点电荷的场型270

10.4 格林函数法解时谐场边值问题273

1. 积分表达式和辅助边值问题273

2. 横向电流激励的矩形波导管275

3. 轴向电流激励的径向腔277

4. 格林函数按本征函数系展开法279

5. 辐射积分和绕射积分281

6. 惠更斯原理和等效源原理283

10.5 格林函数法解有源传输线问题285

1. 积分表达式和辅助边值问题285

2. 均匀无耗传输线的格林函数287

3. 谐振线的单点冲激响应289

第十一章 保角变换法解二维拉普拉斯问题292

11.1 复变函数的基本概念292

1. 复数和复变函数292

2. 复变函数的基本性质295

1. 柯西-黎曼条件297

11.2 解析函数的基本性质297

3. 基本初等函数的定义297

2. 共轭调和函数300

3. 图形的保角变换301

4. 柯西积分定理和积分公式302

5. 无穷级数303

6. 留数计算305

11.3 二维静电场的保角变换307

1. 复位函数和电场共轭函数307

2. 保角变换的应用309

11.4 初等变换及其应用310

1. 指数-对数变换310

2. 双曲余弦-反双曲余弦变换310

3. 双曲正切-反双曲正切变换313

4. 有理正幂变换317

5. 倒量变换319

6. 双线性变换321

1. 广义多角形326

11.5 多角形变换的原理326

2. 施瓦茨-克里斯托菲变换327

3. 半无限平行板电极对的边缘场型329

4. 变换积分的讨论331

11.6 椭圆积分-椭圆函数变换及其应用332

1. 第一类椭圆积分和椭圆正弦函数332

2. 矩形内域变换成半平面域337

3. 椭圆积分和椭圆函数类340

4. 平行对称薄带电极对的线电容量345

5. 对称带状传输线的线电容量347

第十二章 边值问题的近似解法352

12.1 边值问题的有限差分解法352

1. 有限差分和差商352

2. 二维拉普拉斯方程的差分格式354

3. 边界条件的差分近似355

4. 差分方程组的解法357

5. 同轴方形导体间的电位分布和线电容量359

1. 二维泊松方程的差分格式361

2. 分区媒质中的差分格式361

12.2 各类电磁场方程的差分格式361

3. 三维亥姆霍茨方程的差分格式362

4. 任意截面均匀波导管问题的差分解法363

5. 一维波动方程混合问题的差分格式364

12.3 泛函分析的基本概念366

1. 泛函和内积366

2. 算子和含算子的内积368

3. 线性正算子方程与泛函极小值369

4. 泛函的变分和欧拉方程370

12.4 自伴边值问题化为变分问题372

1. 自伴二阶常微边值问题372

2. 泊松方程的边值问题374

3. 拉普拉斯边值问题376

4. 亥姆霍茨本征值问题378

5. 广义本征值问题380

12.5 变分问题的近似解法381

1. 里兹法的原理381

2. 坐标函数序列的选择383

3. 应用于求解波导管问题385

4. 矢量场算子和算子方程386

5. 应用于求解谐振腔问题387

6. 有限单元法原理389

12.6 矩量法解线性正算子方程394

1. 矩量法的原理394

2. 坐标函数和加权函数序列的选择396

3. 矩量法与里兹法计算结果的比较398

附录一 伽玛函数403

附录二 并矢分析404

1. 电场的并矢格林函数408

附录三 并矢格林函数408

2. 按矢量本征函数系展开法409

3. 矢量本征函数系的构成410

4. 磁场的并矢格林函数412

练习题414

第一篇 习题414

第二篇 习题417

第三篇 习题420

参考资料423