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第一章 函数 极限与连续1

1-1 初等函数1

一、引例1

二、函数概念2

三、函数的几种特性5

四、反函数与复合函数7

五、基本初等函数8

六、初等函数13

七、简单数学模型举例14

习题1-116

1-2 函数的极限18

一、数列的极限18

二、x→∞时函数的极限21

三、x→x0时函数的极限23

四、极限的性质25

习题1-227

1-3 无穷小量与无穷大量28

一、无穷小量28

二、无穷大量29

习题1-331

一、无穷小的运算性质32

1-4 极限运算法则32

二、极限的四则运算法则33

习题1-437

1-5 极限存在准则两个重要极限38

一、夹逼准则38

二、单调有界准则40

习题1-543

1-6 无穷小的比较44

习题1-645

1-7 函数的连续性46

一、函数的连续性概念46

二、函数的间断点48

习题1-749

1-8 连续函数的运算与初等函数的连续性50

一、连续函数的四则运算50

二、反函数的连续性50

三、复合函数的连续性50

四、初等函数的连续性52

习题1-852

1-9 闭区间上连续函数的性质53

一、最大值、最小值定理53

二、介值定理54

实例一 连续计息问题55

习题1-955

1-10 应用实例55

实例二 数据拟合56

第二章 一元函数微分学59

2-1 导数的概念59

一、引例59

二、导数的定义61

三、一些基本初等函数的导数64

四、可导与连续的关系66

2-2 导数的运算法则67

一、导数的四则运算法则67

习题2-167

二、反函数的求导法则70

三、复合函数的求导法则71

四、初等函数的求导公式73

习题2-274

2-3 高阶导数76

习题2-378

2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数78

一、隐函数求导法则78

二、由参数方程确定的函数的导数81

三、相关变化率83

习题2-484

2-5 函数的微分85

一、微分的定义85

二、微分与导数的关系87

三、微分的意义与应用88

四、一阶微分形式不变性89

五、微分运算法则90

习题2-591

2-6 微分中值定理92

一、罗尔(Rolle)定理93

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理94

三、柯西(Cauchy)中值定理97

习题2-699

2-7 洛必达法则99

一、？型未定式100

二、？型未定式100

三、其他类型的未定式101

习题2-7103

2-8 泰勒公式103

习题2-8108

2-9 函数的单调性与极值108

一、函数的单调性108

二、函数的极值111

三、最大值与最小值问题114

习题2-9116

2-10 函数图形的描绘118

一、曲线的凹凸性与拐点118

二、渐近线122

三、函数图形的描绘123

习题2-10126

2-11 平面曲线的曲率126

一、弧微分126

二、平面曲线的曲率128

三、曲率圆与曲率半径131

习题2-11133

2-12 导数在其他学科中的应用133

一、导数在其他学科中的含义——变化率133

二、导数在经济学中的应用135

习题2-12138

2-13 应用实例139

实例一 选址问题139

实例二 销售决策问题140

第三章 一元函数积分学141

3-1 定积分的概念与性质141

一、引例141

二、定积分的定义145

三、定积分的几何意义147

四、定积分的性质148

习题3-1152

3-2 微积分基本定理153

一、积分上限的函数153

二、牛顿-莱布尼茨公式156

习题3-2158

3-3 不定积分158

一、不定积分的概念158

三、不定积分的运算法则160

二、基本积分表160

习题3-3163

3-4 换元积分法164

一、不定积分的第一换元积分法164

二、不定积分的第二换元积分法170

三、定积分的换元法173

习题3-4177

3-5 分部积分法179

一、不定积分的分部积分法179

二、定积分的分部积分法182

习题3-5185

一、无穷区间上的反常积分186

3-6 反常积分186

二、无界函数的反常积分188

习题3-6190

3-7 定积分的几何应用(一)191

一、微元分析法191

二、平面图形的面积193

习题3-7196

3-8 定积分的几何应用(二)196

一、空间立体的体积197

二、平面曲线的弧长199

习题3-8202

一、变力沿直线作功203

3-9 定积分的物理应用203

二、引力204

三、液体的静压力205

习题3-9205

3-10 应用实例206

实例一 钓鱼证问题206

实例二 索道的长度问题207

第四章 微分方程209

4-1 微分方程的概念209

一、引例209

二、微分方程的基本概念211

4-2 一阶微分方程213

一、可分离变量的方程213

习题4-1213

二、齐次方程216

三、一阶线性微分方程219

习题4-2223

4-3 可降阶的二阶微分方程224

一、y″=f(x，y′)型的微分方程225

二、y″=f(y，y′)型的微分方程226

习题4-3227

一、二阶线性齐次方程解的结构228

4-4 二阶线性微分方程228

二、二阶线性非齐次方程解的结构229

三、二阶常系数线性微分方程的解法229

习题4-4235

4-5 应用实例235

实例一 核废料处理问题235

实例二 探照灯反射镜面的形状237

实例三 缉私船的追击问题238

习题答案241

参考文献260