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第1章 复数域1

1.1 什么是复数1

1.1.1 复数域的概念1

1.1.2 复数的几何表示4

1.1.3 复数的乘方与开方7

习题1.19

1.2 复数列9

1.2.1 复数列的极限9

1.2.2 无穷远点与复数的球面表示11

1.3 平面曲线与区域12

1.3.1 平面点集12

1.3.2 有界闭集14

习题1.316

第2章 解析函数18

2.1 复函数的极限18

2.1.1 复函数18

2.1.2 极限与连续20

习题2.123

2.2 导数与解析函数23

习题2.226

2.3 Cauchy-Riemann方程26

习题2.330

2.4 指数函数与三角、双曲函数31

习题2.434

2.5 常见多值函数35

2.5.1 辐角函数35

2.5.2 对数函数36

2.5.3 根式函数37

2.5.4 其他初等函数40

习题2.542

第3章 复积分43

3.1 复积分的概念43

习题3.148

3.2 基本定理49

3.2.1 Cauchy积分定理49

3.2.2 原函数51

习题3.254

3.3 Cauchy积分公式54

3.3.1 Cauchy积分公式的导出54

3.3.2 解析函数的无穷可微性57

3.3.3 最大模原理61

习题3.363

3.4 调和函数64

习题3.470

第4章 解析函数的级数展式71

4.1 Weierstrass定理71

习题4.176

4.2 幂级数77

习题4.281

4.3 Taylor级数82

习题4.384

4.4 唯一性定理85

习题4.486

4.5 解析开拓87

习题4.589

4.6 Laurent级数89

4.6.1 Laurent展式90

4.6.2 孤立奇点93

4.6.3 整函数与亚纯函数97

习题4.698

4.7 Γ函数99

第5章 留数104

5.1 留数定理104

习题5.1108

5.2 积分计算109

5.2.1 用留数计算实积分111

5.2.2 多值函数的积分118

5.2.3 杂例120

习题5.2124

5.3 辐角原理125

习题5.3133

第6章 共形映射134

6.1 共形映射的概念和若干基本性质134

6.1.1 共形映射的概念134

6.1.2 共形映射的若干性质136

习题6.1138

6.2 分式线性变换138

习题6.2147

6.3 初等函数构成的共形映射147

6.3.1 指数函数与对数函数147

6.3.2 幂函数149

6.3.3 儒可夫斯基映射150

6.3.4 共形映射的几个综合例题151

习题6.3156

6.4 Schwarz-christoffel映射156

6.5 解析函数在平面向量场中的应用165

第7章 Laplace变换176

7.1 Laplace变换的定义176

7.2 拉氏变换的基本性质178

7.2.1 线性关系178

7.2.2 相似定理179

7.2.3 本函数的微分法179

7.2.4 本函数的积分法182

7.2.5 像函数的微分法183

7.2.6 像函数的积分法184

7.2.7 关于t的位移性质——延迟性185

7.2.8 关于p的位移性质187

7.2.9 周期函数的像函数187

7.2.10 卷积定理188

7.3 由像函数求本函数190

7.3.1 部分分式法190

7.3.2 拉氏变换的反演公式192

7.3.3 其他方法194

习题7.3195

附录 三次方程的Cardano公式198

附表1 基本法则表200

附表2 Laplace变换表201

习题与思考题提示或解答205