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目录1

前言1

第1章 NLS方程的哈密顿理论1

1.1　NLS方程1

1.1.1　NLS方程和变分原理1

1.1.2　反散射法2

1.1.3　约斯特解的性质4

1.2　对u的变分6

1.2.1　对u的变分6

1.2.2 T（λ）间的泊松括号7

1.2.3　约斯特解对8

1.3.2　基本的泊松括号9

1.3.1　计算公式9

1.3　连续谱的泊松括号9

1.3.3　连续谱的作用变量和角变量11

1.4　守恒律12

1.4.1　约斯特解的渐近行为13

1.4.2　a（λ）的表示式13

1.4.3　a（λ）有零点时的表示式14

1.5　分离谱的泊松括号15

1.5.1　分离谱的泊松括号15

1.5.2　含有bn的泊松括号17

1.5.3　分离谱时的作用变量和角变量17

1.5.4　哈密顿形式18

第1章附录　含bn的泊松括号19

2.1.1　KdV方程和泊松括号23

2.1 KdV方程23

第2章 KdV方程的哈密顿理论23

2.1.2　反散射法24

2.1.3　约斯特解25

2.1.4　单式矩阵的性质26

2.2　对u的变分27

2.2.1　对u的变分27

2.2.2 T（k）间的泊松括号28

2.2.3　约斯特解对29

2.3　连续谱的泊松括号29

2.3.1 计算公式29

2.3.2　基本的泊松括号30

2.3.3　连续谱的作用变量和角变量32

2.4　守恒量33

2.4.2　a（k）的表示式34

2.4.1　约斯特解的渐近行为34

2.5　分离谱的泊松括号36

2.5.1　分离谱的泊松括号36

2.5.2　含有bn的泊松括号37

2.5.3　分离谱的作用变量和角变量38

2.5.4　哈密顿理论38

第3章　sine-Gordon方程的哈密顿理论39

3.1　sine-Gordon方程39

3.1.1　sine-Gordon方程和变分原理39

3.1.2　反散射法和规范变换40

3.1.3　约斯特解41

3.2　对θ的变分43

3.2.1　对θ的变分43

3.2.2　T（ζ）元间的泊松括号44

3.2.3　约斯特函数对的直积的组合45

3.3　连续谱时的泊松括号47

3.3.1　计算公式47

3.3.2　反向问题47

3.3.3　连续谱的泊松括号47

3.3.4　连续谱的作用变量和角变量49

3.4　守恒律51

3.4.1 约斯特解在｜ζ｜→∞时的渐近行为51

3.4.2　a（ζ）的表示式Ⅰ52

3.4.3　约斯特解在｜ζ｜→0时的渐近行为53

3.4.4　a（ζ）的谱参数表示式Ⅱ55

3.5　分离谱时的泊松括号56

3.5.1　分离谱时的泊松括号56

3.5.2　与bn无关的泊松括号57

3.5.3　含bn的泊松括号58

3.5.4　分离谱的作用变量和角变量59

3.5.5　分离谱的哈密顿理论59

第4章 UNLS方程的哈密顿理论62

4.1 非稳定的NLS方程62

4.1.1 非稳定的NLS方程和泊松括号62

4.1.2　约斯特解63

4.2　对u（x）的变分65

4.2.1　对u（x）的变分65

4.2.2 T（λ）的元间的泊松括号66

4.2.3　约斯特解对的直积67

4.2.4　基本计算公式68

4.3.2　实数情况的泊松括号69

4.3　实数连续谱时的泊松括号69

4.3.1　实数情况下的基本公式69

4.3.3　实数情况的作用变量和角变量70

4.4　虚数连续谱的泊松括号70

4.4.1　虚数情况下的基本公式70

4.4.2　虚数情况的泊松括号71

4.4.3　虚数情况的作用变量和角变量72

4.5　守恒律73

4.5.1　约斯特解的渐近行为73

4.5.2　a（λ）的表示式74

4.6　分离谱的泊松括号76

4.6.1　分离谱的泊松括号76

4.6.3　分离谱时的作用变量和角变量78

4.6.2　含有bn的泊松括号78

4.6.4　哈密顿理论79

第5章　DNLS方程的哈密顿理论80

5.1 DNLS方程和泊松括号80

5.1.1 DNLS方程和泊松括号80

5.1.2　约斯特解81

5.2　对u（x）的变分84

5.2.1　对u（x）的变分84

5.2.2 T（λ）元间的泊松括号85

5.2.3　约斯特解对的直积86

5.2.4　基本计算公式87

5.3　实数连续谱时的泊松括号87

5.3.1　实数情况下的基本公式87

5.3.2　实数情况的泊松括号88

5.3.3　实数情况的作用变量和角变量89

5.4.1　虚数情况下的基本公式90

5.4　虚数连续谱时的泊松括号90

5.4.2　虚数连续谱时的泊松括号91

5.4.3　虚数情况下的作用变量和角变量91

5.5　守恒律92

5.5.1　约斯特解的渐近行为92

5.5.2　a（λ）的表示式93

5.6　分离谱时泊松括号95

5.6.1　分离谱时泊松括号95

5.6.2　含有bn的泊松括号97

5.6.3　分离谱时的作用变量和角变量98

5.6.4　哈密顿形式98

6.1.1　变分原理和泊松括号100

第6章　NLS+方程的哈密顿理论100

6.1 NLS+方程和变分原理100

6.1.2　约斯特解102

6.1.3　单式矩阵103

6.1.4　约化变换104

6.1.5　零点位置105

6.2　对u（x）的变分105

6.2.1　对u（x）的变分105

6.2.2 T（λ）的元间的泊松括号106

6.2.3　约斯特解对的直积107

6.3　连续谱时的泊松括号108

6.3.1　基本计算公式108

6.3.2　基本的泊松括号109

6.3.3　连续谱时的作用变量和角变量112

6.4　守恒量113

6.4.1　约斯特解的渐近行为113

6.4.2　a（λ）的表示式114

6.5　分离谱的泊松括号114

6.5.1　分离谱的泊松括号114

6.5.2　含有bn的泊松括号116

6.5.3　分离谱的作用变量和角变量117

6.6　哈密顿形式和常数相的佯谬118

6.6.1　哈密顿形式118

6.6.2　常数相的佯谬118

第7章 各向同性L-L方程的哈密顿理论121

7.1 L-L方程的李-泊松括号121

7.1.1　L-L方程121

7.1.2 自旋的李-泊松括号122

7.2　反散射法123

7.2.1　相容性方程123

7.3　变分124

7.3.1　变分124

7.3.2　基本的李-泊松括号125

7.3.3　约斯特解对的直积125

7.4　完全各向同性自旋情况128

7.4.1　连续谱的泊松括号128

7.4.2　完全各向同性情况的作用变量和角变量129

7.5 守恒量130

7.5.1 守恒量的过去的推导130

7.5.2　与NLS方程的规范等价性131

7.6.1　分离谱的哈密顿量133

7.6　分离谱133

7.5.3　正确的守恒律133

7.6.2　分离谱的泊松括号134

7.6.3　分离谱的作用变量和角变量134

第8章 具轴对称的L-L方程的哈密顿理论136

8.1 具易磁化轴情况的泊松括号136

8.1.1　具易磁化轴情况的基本公式136

8.1.2　｛T（ζ）？T-1（ζ'）｝138

8.2 具易磁化轴时连续谱的作用变量和角变量139

8.2.1　连续谱时的作用变量和角变量139

8.2.2　规范变换140

8.2.3　具易磁化轴情况的守恒律141

8.2.4　具易磁化轴情况的a（ζ）142

8.3.1　分离谱的a（ζ）和李-泊松括号143

8.3　具易磁化轴情况的分离谱143

8.3.2　分离谱的作用变量和角变量144

8.4　具易磁化面情况的泊松括号144

8.4.1　具易磁化面情况的基本公式144

8.4.2　具易磁化面时连续谱时的作用变量和角变量147

8.4.3　具易磁化面时连续谱时的守恒量149

8.5 具易磁化面时的分离谱情况149

8.5.1　分离谱情况的基本公式149

8.5.2　分离谱的作用变量和角变量150

第9章 完全各向异性的L-L方程的哈密顿理论151

9.1　完全各向异性情况的L-L方程151

9.1.1　完全各向异性L-L方程151

9.2　反散射法152

9.2.1　相容性方程152

9.1.2 自旋的李-泊松括号152

9.2.2　约斯特解153

9.3　变分154

9.3.1 变分154

9.3.2　约斯特解对的直积155

9.4　完全各项异性情况的基本泊松括号157

9.4.1 完全各项异性情况的基本泊松括号157

9.4.2　作用变量和角变量158

9.5 守恒律的导出159

9.5.1 ｜λ｜→0情况159

9.5.2　简单推导守恒律的失误160

9.5.3　完全各向异性时规范变换的结果161

9.6.1 ｜λ｜→0情况163

9.6　色散关系163

9.5.4　守恒律163

9.6.2 a（λ）的色散关系164

9.7　分离谱164

9.7.1　分离谱的ad（λ）164

9.7.2　分离谱情况的李-泊松括号165

9.7.3　分离谱情况的作用变量和角变量166

参考文献167

附录171

附录A　泊松括号的直积形式171

附录B 约斯特解对的直积形式173

附录C 约斯特解的渐近值（亮）175

附录D 约斯特解的渐近值（暗）176

附录E　计算举例179

附录F　主值公式180