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第一部分 高维微分学1

第一章 向量值映照的背景3

1.1知识要素3

1.1.1向量值映照3

1.1.2范数与距离4

1.1.3 Euclid空间中的点列4

1.2应用事例7

1.2.1极坐标系7

1.2.2柱坐标系7

1.2.3球坐标系9

1.2.4椭圆柱坐标系9

1.2.5双极柱坐标系12

1.3拓广深化13

1.4建立路径16

第二章 向量值映照的极限17

2.1知识要素17

2.1.1向量值映照极限的定义17

2.1.2向量值映照极限的分析性质20

2.1.3向量值映照极限的计算方法23

2.1.4 Euclid空间中点集拓扑基础26

2.2应用事例35

2.2.1基于路径分析35

2.2.2基于极坐标分析38

2.2.3累次极限39

2.3建立路径40

第三章 向量值映照的可微性与导数的计算方法42

3.1知识要素42

3.1.1向量值映照的可微性定义42

3.1.2方向导数46

3.1.3高阶偏导数46

3.1.4导数计算的充分性方法47

3.1.5导数计算的极限分析方法51

3.2应用事例53

3.2.1导数计算的充分性方法53

3.2.2导数计算的极限分析方法58

3.2.3矩阵形式的链式求导66

3.3拓广深化67

3.3.1单参数向量值映照的变化率67

3.3.2单参数单位正交基的变化率71

3.3.3速度与加速度等合成原理73

3.3.4角速度与角速度合成原理73

3.3.5单位正交基下速度与加速度的表示76

3.4建立路径82

第四章 基于直线单参数化的相关分析结论84

4.1知识要素84

4.1.1直线单参数化84

4.1.2多元函数可微性的一个充分性条件85

4.1.3多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件87

4.2建立路径90

第五章 无限小分析方法92

5.1知识要素92

5.1.1基于直线单参数化获得无限小增量公式92

5.1.2多项式逼近的唯一性95

5.1.3获得多元高阶多项式逼近的实际方法99

5.1.4自由最值问题101

5.1.5多元函数展开至二阶的几何意义103

5.2应用事例105

5.2.1自由最值问题105

5.2.2获得复杂函数的多元高阶多项式逼近106

5.3建立路径113

第六章 有限增量公式或估计115

6.1知识要素115

6.1.1基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式115

6.1.2基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计116

6.1.3基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计117

6.2建立路径118

第七章 曲线向量值映照119

7.1知识要素119

7.1.1曲线的切向量与切线119

7.1.2曲线的局部标架与其运动方程120

7.1.3曲线的局部参数化124

7.2应用事例125

7.3建立路径126

第八章 曲面向量值映照127

8.1知识要素127

8.1.1曲面的切平面与法向量127

8.1.2曲面的基本形式129

8.1.3曲面的Gauss曲率与平均曲率130

8.1.4曲面的局部标架与其运动方程132

8.1.5曲面的法截线与主法截线134

8.1.6曲面的局部参数化136

8.2应用事例138

8.2.1二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率138

8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率141

8.3建立路径142

第九章 隐映照定理144

9.1知识要素144

9.1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理144

9.1.2由压缩映照定理获得隐映照定理145

9.1.3隐函数导数的计算方法150

9.2应用事例151

9.2.1隐函数的导数计算151

9.2.2隐映照的导数计算158

9.3拓广深化165

9.3.1基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性165

9.3.2基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性167

9.4建立路径169

第十章 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示）170

10.1知识要素170

10.1.1隐映照定理170

10.1.2曲线的隐式表示171

10.1.3曲面的隐式表示172

10.2应用事例173

10.2.1曲线的隐式表示173

10.2.2曲面的隐式表示181

10.3建立路径192

第十一章 隐映照定理的应用（约束上的最值问题）194

11.1知识要素194

11.1.1隐映照定理194

11.1.2约束上最值问题195

11.1.3 Lagrange乘子法200

11.2应用事例201

11.2.1约束上最值问题201

11.2.2利用约束最值获得不等式208

11.3建立路径212

第十二章 逆映照定理与微分同胚214

12.1知识要素214

12.1.1由隐映照定理获得逆映照定理214

12.1.2由压缩映照定理获得逆映照定理216

12.1.3微分同胚219

12.2拓广深化222

12.2.1秩 定理222

12.2.2秩定理的应用——函数相关性与无关性226

12.2.3 Morse定理229

12.2.4 Morse定理的应用——平面曲线奇点的类别233

12.2.5曲面的流形观点解释239

12.3建立路径247

第十三章 隐映照定理与逆映照定理的综合应用249

13.1知识要素249

13.1.1变换方程249

13.1.2 Frobenius定理251

13.1.3基于曲面的半正交系262

13.2应用事例265

13.2.1变换方程——仅有自变量变换265

13.2.2变换方程——既有自变量变换又有因变量变换269

13.2.3 Frobenius定理——直接推导Pfaff方程272

13.3建立路径280

第二部分 高维积分学281

第十四章 积分应用理论283

14.1知识要素283

14.1.1曲线上的积分283

14.1.2曲面上的积分289

14.2建立路径298

第十五章 积分分析理论（ Darboux和分析）300

15.1知识要素300

15.1.1闭方块上有界函数的Darboux和分析300

15.1.2闭方块上Riemann可积的等价性叙述304

15.1.3闭方块上Riemann可积的函数305

15.2应用事例309

15.3建立路径311

第十六章 积分分析理论（Lebesgue定理）312

16.1知识要素312

16.1.1 Lebesgue零测集312

16.1.2函数在某一点的振幅314

16.1.3 Cantor定理315

16.1.4 Lebesgue定理/判别法316

16.1.5允许集上Riemann积分的定义319

16.2应用事例320

16.3建立路径320

第十七章 计算理论（F ubini定理）321

17.1知识要素321

17.1.1 Fubini定理321

17.1.2典型积分域上的积分325

17.2应用事例328

17.3建立路径330

第十八章 计算理论（体积分换元公式）331

18.1知识要素331

18.1.1微分同胚映照下的相关结论331

18.1.2简单微分同胚的相关结论335

18.1.3体积分换元公式339

18.2应用事例345

18.2.1基本理论345

18.2.2平面极坐标系变换345

18.2.3柱坐标系变换347

18.2.4球坐标系变换350

18.2.5正交变换365

18.2.6一般区域变换368

18.2.7广义球坐标系变换372

18.2.8角区与带形区域变换373

18.3建立路径376

第十九章 广义积分与含参变量的积分377

19.1知识要素377

19.1.1广义积分的定义377

19.1.2判定广义积分敛散性的计算方法378

19.1.3含参变量的积分380

19.2拓广深化382

19.2.1计算一阶变分382

19.2.2计算二阶变分384

19.3应用事例385

19.3.1计算广义积分385

19.3.2利用含参变量的积分计算相关积分394

19.3.3计算变分400

19.4建立路径402

第二十章Gauss-Ostrogradskii公式403

20.1知识要素403

20.1.1延拓形式的Newton-Leibniz公式403

20.1.2 Gauss-Ostrogradskii公式的原型404

20.1.3 Gauss-Ostrogradskii公式的应用形式406

20.2应用事例407

20.3建立路径410

第二十一章Green公式412

21.1知识要素412

21.1.1平面区域边界的定向412

21.1.2由Gauss-Ostrogradskii公式获得Green公式415

21.2应用事例417

21.3建立路径421

第二十二章Stokes公式422

22.1知识要素422

22.1.1简单正则曲面及其定向422

22.1.2简单正则曲面的边界及其定向422

22.1.3 Stokes公式424

22.2应用事例429

22.3建立路径432

第二十三章 场论基础433

23.1知识要素433

23.1.1微分关系式433

23.1.2积分关系式445

23.1.3数学物理中的有关积分448

23.1.4无旋向量场的势函数455

23.2应用事例456

23.2.1基于典则基下的展开推导微分恒等式456

23.2.2基于体积局部基下的展开推导体积上微分恒等式459

23.2.3基于曲面局部基下的展开推导曲面上微分恒等式460

23.2.4单位正交基下微分算子的表示462

23.2.5无旋向量场的势函数479

23.3建立路径480

第三部分 级数482

第二十四章 正项数项级数484

24.1知识要素484

24.1.1比较的思想484

24.1.2相关结论485

24.1.3上下极限的定义与其基本性质490

24.2应用事例494

24.2.1直接展开494

24.2.2比值展开503

24.2.3根式形式508

24.3建立路径512

第二十五章 一般数项级数514

25.1知识要素514

25.1.1数项级数收敛的Cauchy收敛原理514

25.1.2 Abel和式与Abel估计514

25.1.3数项级数的Abel-Dirichlet判别法515

25.1.4数项级数的基本分析性质515

25.2应用事例518

25.2.1交叉级数518

25.2.2直接展开519

25.2.3比值展开525

25.2.4一般方法532

25.3建立路径534

第二十六章 函数项级数536

26.1知识要素536

26.1.1点点收敛与一致收敛的概念536

26.1.2一致收敛的Cauchy收敛原理537

26.1.3基于一致收敛的分析性质537

26.1.4研究一致收敛性的若干方法542

26.2应用事例545

26.2.1判定函数序列的一致收敛性545

26.2.2判定函数项级数的一致收敛性549

26.3拓广深化556

26.3.1基于Picared迭代研究动力系统的解的存在性556

26.3.2基于Picared迭代研究动力系统的解对初值的可微依赖性558

26.4建立路径560

第二十七章 幂级数562

27.1知识要素562

27.1.1幂级数的收敛半径及收敛域562

27.1.2幂级数的分析性质563

27.1.3获得复杂函数的幂级数表示565

27.2应用事例566

27.2.1求幂级数收敛半径及收敛域566

27.2.2获得幂级数的和函数576

27.2.3获得复杂函数的幂级数展开582

27.2.4利用幂级数求级数的和591

27.3建立路径594

第二十八章Fourier级数595

28.1知识要素595

28.1.1 Fourier级数的点收敛观点595

28.1.2 Fourier级数的内积观点597

28.2应用事例599

28.3建立路径602

名词索引603

插图目录609

参考文献615