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第1章 简介与导读1

1.1 简介与概念1

1.2 内容简介2

1.3 如何使用这本书2

1.4 相关文献3

1.5 致谢3

第2章 生成随机数5

2.1 引言5

2.1.1 如何生成随机数5

2.1.2 随机数生成器的质量标准6

2.1.3 术语7

2.2 随机数生成器示例8

2.2.1 线性同余生成器8

2.2.2 倍数递归生成器11

2.2.3 生成器组合14

2.2.4 延迟斐波纳契生成器15

2.2.5 F2-线性生成器16

2.2.6 非线性RNGs20

2.2.7 更多的随机数生成器21

2.2.8 改进RNGs22

2.3 检验和分析RNGs22

2.3.1 分析晶格结构23

2.3.2 等分布23

2.3.3 扩散能力24

2.3.4 统计检验24

2.4 基于广义分布生成随机数27

2.4.1 反演法28

2.4.2 接受-拒绝法29

2.5 选择分布31

2.5.1 生成正态分布随机数31

2.5.2 生成Beta分布随机数32

2.5.3 生成Weibull分布随机数33

2.5.4 生成Gamma分布随机数33

2.5.5 生成卡方分布随机数35

2.6 多元随机变量36

2.6.1 多变量正态分布37

2.6.2 评论：Copulas37

2.6.3 条件分布中抽样38

2.7 作为随机序列的替代的拟随机序列38

2.7.1 Halton序列39

2.7.2 Sobol序列40

2.7.3 随机化拟蒙特卡罗方法41

2.7.4 混合型蒙特卡罗方法42

2.7.5 拟随机序列和其他随机分布42

2.8 并行技术42

2.8.1 蛙跳法43

2.8.2 序列划分43

2.8.3 一些RNGs44

2.8.4 独立序列44

2.8.5 检验并行RNGs44

第3章 蒙特卡罗方法：基本原理45

3.1 引言45

3.2 强大数定律和蒙特卡罗方法46

3.2.1 强大数定律46

3.2.2 原始蒙特卡罗方法46

3.2.3 蒙特卡罗方法：一些初级应用49

3.3 提高蒙特卡罗方法的收敛速度：方差缩减技术53

3.3.1 对偶变量54

3.3.2 控制变量法56

3.3.3 分层抽样61

3.3.4 条件抽样的方差缩减技术67

3.3.5 重要性抽样69

3.4 方差缩减技术的进一步视角77

3.4.1 更多的方法77

3.4.2 方差缩减技术的应用79

第4章 连续时间随机过程：连续路径81

4.1 引言81

4.2 随机过程和路径：基本定义81

4.3 随机过程的蒙特卡罗方法84

4.3.1 蒙特卡罗和随机过程84

4.3.2 模拟随机过程路径：基准85

4.3.3 随机过程的方差缩减87

4.4 布朗运动和布朗桥87

4.4.1 布朗运动属性89

4.4.2 弱收敛和Donsker定理91

4.4.3 布朗桥94

4.5 It？微积分的基础98

4.5.1 It？积分98

4.5.2 It？公式103

4.5.3 鞅表示和测度变化105

4.6 随机微分方程106

4.6.1 随机微分方程的基本结论106

4.6.2 线性随机微分方程108

4.6.3 平方根随机微分方程110

4.6.4 弗恩曼-卡茨表示定理110

4.7 模拟随机微分方程的解112

4.7.1 简介和基本知识112

4.7.2 常微分方程的数值算法113

4.7.3 随机微分方程的数值算法117

4.7.4 SDEs数值算法的收敛121

4.7.5 更多的SDEs数值法123

4.7.6 SDEs数值方法的效率125

4.7.7 弱外推法126

4.7.8 多层蒙特卡罗方法129

4.8 应为SDE选择何种模拟方法133

第5章 模拟金融模型：连续路径135

5.1 引言135

5.2 股票价格建模基础136

5.3 布莱克-斯克尔斯类型的股票定价框架137

5.3.1 一个重要的特殊情况：布莱克-斯克尔斯模型139

5.3.2 完全市场模型141

5.4 期权的基本因子142

5.5 期权定价的介绍144

5.5.1 期权定价简史144

5.5.2 通过复制原理进行期权定价145

5.5.3 在布莱克-斯克尔斯假设条件下的股息151

5.6 在布莱克-斯克尔斯假设条件下的期权定价和蒙特卡罗方法151

5.6.1 路径独立的（欧式）期权152

5.6.2 路径相关的欧式期权154

5.6.3 更多的奇异期权163

5.6.4 数据预处理的矩匹配方法163

5.7 布莱克-斯克尔斯模型的弱点165

5.8 局部波动率模型和CEV模型167

5.8.1 CEV期权定价的蒙特卡罗方法169

5.9 一个偏题：模型系数校正171

5.10 不完全市场中期权定价172

5.11 随机波动率和在赫斯顿模型中的期权定价173

5.11.1 赫斯顿模型的Andersen算法176

5.11.2 赫斯顿模型中的Heath-Platen估计180

5.12 在非布莱克-斯克尔斯模型中的方差缩减法则184

5.13 随机局部波动模型185

5.14 蒙特卡罗期权定价：美式期权和百慕大期权186

5.14.1 百慕大期权定价的朗斯塔夫-施瓦兹算法和基于回归的算法变形189

5.14.2 对偶方法的价格上界195

5.15 蒙特卡罗计算期权定价的敏感性199

5.15.1 价格敏感性的作用199

5.15.2 有限差分模拟200

5.15.3 顺向微分方法203

5.15.4 似然率方法205

5.15.5 对比顺向可微和似然率方法的局部化206

5.15.6 在布莱克-斯克尔斯设置下的数值测试207

5.16 利率建模基础209

5.16.1 利率的不同概念209

5.16.2 一些流行的利率产品211

5.17 利率建模的短期利率方法214

5.17.1 单位的改变及期权定价：向前测度215

5.17.2 瓦西塞克模型216

5.17.3 考克斯-英格索-罗斯（CIR）模型218

5.17.4 仿射线性短期利率模型220

5.17.5 完美校正：确定的偏移及赫尔-怀特方法220

5.17.6 对数正态模型和短期利率模型的深入223

5.18 利率建模的远期利率方法224

5.18.1 连续时间的Ho-Lee模型225

5.18.2 切耶特模型225

5.19LIBOR市场模型229

5.19.1 对数正态远期LIBOR建模229

5.19.2 互换及利率上限市场之间的关系231

5.19.3 远期LIBOR利率和衍生品定价的蒙特卡罗路径模拟233

5.19.4 参数化执行边界的百慕大互换期权的蒙特卡罗定价及深入评论238

5.19.5 对数正态远期LIBOR模型的选择240

第6章 连续时间随机过程：非连续路径242

6.1 引言242

6.2 泊松过程和随机泊松测度：定义和模拟242

6.2.1 泊松过程的随机积分245

6.3 跳跃扩散过程：基础、性质及模拟247

6.3.1 模拟高斯-泊松跳跃扩散过程248

6.3.2 跳跃扩散过程的欧拉-丸山方法250

6.4 Lévy过程：定义和例子251

6.4.1 Lévy过程的定义和性质251

6.4.2 Lévy过程的例子253

6.5 Lévy过程的模拟257

6.5.1 精确模拟和时间离散化257

6.5.2 Lévy过程的欧拉-丸山方法258

6.5.3 小跳跃的逼近259

6.5.4 用级数表达式模拟261

第7章 模拟金融模型：非连续路径262

7.1 引言262

7.2 Merton跳跃扩散模型和带跳跃项的随机波动模型262

7.2.1 Merton跳跃扩散模型设定262

7.2.2 二重指数跳跃的跳跃扩散过程265

7.2.3 带跳跃的随机波动模型266

7.3 特殊Lévy过程和其模拟266

7.3.1 Esscher变换266

7.3.2 双曲Lévy模型267

7.3.3 方差Gamma模型269

7.3.4 正态反高斯过程275

7.3.5 Lévy类模型的其他问题277

第8章 模拟精算模型279

8.1 引言279

8.2 保险费原则和风险测度279

8.2.1 属性和保费原则案例280

8.2.2 保费原则的蒙特卡罗模拟282

8.2.3 风险测度的属性和案例283

8.2.4 保费原则和风险测度的联系285

8.2.5 风险测度的蒙特卡罗模拟285

8.3 蒙特卡罗方法在寿险中的一些应用294

8.3.1 死亡率：定义和经典模型294

8.3.2 动态死亡率模型295

8.3.3 人寿保险合约和保费计算298

8.3.4 通过蒙特卡罗模拟为长寿产品定价299

8.3.5 保费准备金和Thiele微分方程301

8.4 利用copula模拟相依风险303

8.4.1 定义和基本属性303

8.4.2 例子和copula模拟305

8.4.3 实际模型应用312

8.5 非人寿保险313

8.5.1 单一模型313

8.5.2 集体模型314

8.5.3 极端事件情况和厚尾分布317

8.5.4 相依索赔：copulas例子320

8.6 马尔可夫链蒙特卡罗和贝叶斯估计322

8.6.1 马尔可夫链的基本属性322

8.6.2 马尔可夫链模拟325

8.6.3 马尔可夫链蒙特卡罗方法325

8.6.4 MCMC方法和贝叶斯估计331

8.6.5 保险精算中MCMC方法例子和贝叶斯估计333

8.7 资产负债管理和偿付能力Ⅱ336

8.7.1 偿付能力Ⅱ336

8.7.2 资产负债管理（ALM）337

参考文献342

算法列表8

2.1 LCG8

2.2 MRG12

2.3 F2-线性生成器17

2.4 线性反馈移位寄存生成器17

2.5 LFSR生成器组合示例19

2.6 GFSR19

2.7 逆同余生成器21

2.8 反演法28

2.9 接受-拒绝法29

2.10 标准正态c．d．f．近似31

2.11 针对反演标准正态的Beasley-Springer-Moro算法32

2.12 Box-Muller法32

2.13 J？hnk的Beta生成器33

2.14 a＞1下Gamma分布随机数的Cheng算法34

2.15 针对0＜a＜1的Gamma分布随机数算法35

2.16 维·埃里可以生成满足0＜a＜1的伽马分布随机数35

2.17 卡方分布随机数36

2.18 利用正态分布随机数得到卡方分布随机数36

2.19 楚列斯基分解37

2.20 一维Halton序列（Van-der-Corput序列）40

2.21 t维Halton序列40

3.1 （原始）蒙特卡罗方法47

4.1 具有独立增量的离散时间随机过程模拟85

4.2 模拟具有连续路径的连续时间随机过程86

4.3 模拟布朗运动90

4.4 布朗桥的前向模拟96

4.5 从a至b，具有n＝2k个时间点的布朗桥的倒向模拟97

4.6 利用布朗桥进行方差缩减98

4.7 欧拉-丸山法118

4.8 米尔斯坦法120

4.9 米尔斯坦二阶法124

4.10 Talay-Tubaro外推127

4.11 统计龙贝格法129

4.12 多层蒙特卡罗估计131

4.13 可加多层蒙特卡罗估计值131

5.1 通过布莱克-斯克尔斯模型模拟股票价格路径140

5.2 蒙特卡罗模拟期权定价152

5.3 路径独立期权的蒙特卡罗定价152

5.4 平均固定执行价格期权的修正几何均值控制156

5.5 离散障碍期权的蒙特卡罗方法158

5.6 双障碍敲出期权的条件MC方法159

5.7 敲出障碍期权的布朗桥技术的MC定价方法160

5.8 在分段常数障碍下的双障碍敲出看涨期权的Moon方法162

5.9 d-维正态样本的预处理164

5.10 在CEV模型中的蒙特卡罗定价170

5.11 在布莱克-斯克尔斯模型中校正σ171

5.12 在赫斯顿模型中模拟价格路径（简单方式）175

5.13 在赫斯顿模型中模拟波动率的二次指数（QE）方法178

5.14 赫斯顿模型中的股票价格路径180

5.15 看涨期权定价的Heath-Platen估计183

5.16 美式（百慕大）期权蒙特卡罗方法定价的算法框架188

5.17 百慕大期权价格的动态规划计算189

5.18 百慕大期权定价的朗斯塔夫-施瓦兹算法191

5.19 通过Andersen-Broadie算法得到百慕大期权价格的上界196

5.20 切耶特模型中的期权定价228

5.21 在即期LIBOR测度下模拟远期LIBOR利率的路径234

6.1 一个复合泊松过程的模拟过程244

6.2 关于复合泊松过程的随机积分的模拟247

6.3 固定时间间隔点上的高斯-泊松跳跃扩散过程的模拟249

6.4 跳跃扩散过程的欧拉-丸山方法250

6.5 离散Lévy过程的精确模拟258

6.6 Lévy过程的欧拉-九山方法259

7.1 Merton跳跃扩散模型的路径生成263

7.2 利用次级过程生成方差Gamma过程270

7.3 差分法生成VG路径272

7.4 DGBS算法生成VG过程273

7.5 利用DGBS方法给向上敲入期权定价275

7.6 NIG路径的模拟276

8.1 α-分位数的原始蒙特卡罗估计285

8.2 分位数的重要性抽样287

8.3 通过delta-gamma近似的重要性抽样得到在险价值290

8.4 利用外推法对动态死亡率建模296

8.5 随机动态死亡率建模296

8.6 在随机Gompertz模型中模拟动态死亡率297

8.7 利用可交易长寿债券对随机Gompertz模型进行测度校准301

8.8 模拟一个保险合同的（平均）前瞻性准备金303

8.9 利用高斯copula进行模拟307

8.10 利用t-copula进行模拟309

8.11 利用阿基米德copula进行模拟311

8.12 相依风险的copula框架312

8.13 混合泊松过程的路径模拟316

8.14 模拟非均匀泊松过程的路径316

8.15 模拟Cox过程的路径317

8.16 模拟Asmussen-Kroese估计值319

8.17 利用事先计算的转移矩阵模拟一个齐次马尔可夫链路径325

8.18 马尔可夫链模拟325

8.19 Metropolis-Hastings算法326

8.20 Gibbs抽样330