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第一篇 微积分3

第一章 函数 极限 连续3

考点与要求3

1 函数3

内容精讲3

一、函数的概念及表示方法3

二、函数的性态3

三、几个与函数相关的概念4

四、重要公式与结论5

例题分析6

一、求函数的定义域及表达式6

二、函数的特性8

2 极限10

内容精讲10

一、极限的定义10

二、数列极限的基本性质11

三、函数极限的基本性质11

四、无穷小量与无穷大量11

五、极限的四则运算法则12

六、两个重要极限13

七、极限存在的两个准则13

八、洛必达（L′Hospital）法则13

九、重要公式与结论14

例题分析15

一、极限的概念与性质15

二、求函数的极限16

三、求数列的极限23

四、求含参变量的极限24

五、无穷小量阶的比较25

六、函数极限的反问题26

3 函数的连续与间断28

内容精讲28

一、连续的定义28

二、函数的间断点及其分类28

三、连续函数性质28

四、重要定理与结论29

例题分析29

一、函数的连续性及间断点的分类29

二、连续函数性质的应用31

第二章 一元函数微分学32

考点与要求32

1 导数与微分32

内容精讲32

一、导数的概念32

二、导数的计算33

三、微分35

四、重要公式与结论35

例题分析36

一、有关导数的定义及性质36

二、含有绝对值函数的导数39

三、导数的几何意义40

四、变限积分的导数41

五、利用导数公式及法则求导42

六、可导条件下求待定的参数45

七、求函数的高阶导数45

2 导数的应用47

内容精讲47

一、函数的单调性与极值47

二、曲线的凹凸性与拐点48

三、曲线的渐近线48

四、函数图形的描绘49

五、重要公式与结论49

例题分析49

一、求函数的单调区间与极值49

二、判断曲线的凹凸性与拐点51

三、求曲线的渐近线52

四、导数的经济应用53

3 中值定理及不等式的证明55

内容精讲55

一、微分中值定理55

二、补充公式与结论56

三、与本章例题有关的其它内容56

例题分析56

一、证明存在ξ使f（ξ）＝056

二、讨论方程根的个数及范围58

三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n=1,2,…）59

四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））＝060

五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题62

六、双介值问题F（ξ，η，…）＝062

七、不等式的证明63

第三章 一元函数积分学69

考点与要求69

1 不定积分69

内容精讲69

一、不定积分的概念与性质69

二、基本积分公式70

三、三个积分方法70

四、重要公式与结论71

例题分析73

一、不定积分的概念和性质73

二、不定积分的计算74

2 定积分83

内容精讲83

一、定积分的概念与性质83

二、定积分的几个定理84

三、定积分的计算方法85

四、重要公式与结论85

例题分析86

一、定积分的概念及性质86

二、定积分的计算89

三、有关变限积分的问题94

四、定积分的证明题95

3 反常积分97

内容精讲97

一、无穷区间的反常积分97

二、无界函数的反常积分98

三、几个重要的反常积分99

例题分析100

4 定积分的应用102

内容精讲102

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法）102

二、定积分的几何应用102

三、定积分的经济应用103

例题分析103

一、定积分的几何应用103

二、定积分的经济应用105

第四章 多元函数微积分学107

考点与要求107

1 多元函数微分学107

内容精讲107

一、多元函数的极限与连续107

二、偏导数与全微分108

三、复合函数求导法则109

四、隐函数的求导公式110

五、多元函数的极值110

六、重要公式与结论111

例题分析112

一、二元函数的极限与连续112

二、偏导数与全微分的概念113

三、求复合函数的偏导数与全微分116

四、求隐函数的偏导数与全微分121

五、变量替换下表达式的变形123

六、多元函数微分学的反问题126

七、多元函数的极值与最值127

2 二重积分133

内容精讲133

一、二重积分的概念与性质133

二、二重积分的计算134

三、重要公式与结论135

例题分析135

一、二重积分的概念及性质135

二、二重积分的基本计算137

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分140

四、分块函数的二重积分142

五、交换积分次序及坐标系143

六、反常二重积分的计算146

七、与二重积分相关的证明147

第五章 无穷级数149

考点与要求149

1 常数项级数149

内容精讲149

一、基本概念和基本性质149

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法150

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法150

四、重要公式与结论151

例题分析152

一、正项级数敛散性的判定152

二、交错级数的敛散性的判定155

三、任意项级数敛散性的判定157

四、数项级数敛散性的证明160

五、利用收敛级数求极限162

2 幂级数163

内容精讲163

例题分析164

一、求幂级数的收敛半径及收敛域164

二、求幂级数的和函数168

三、求数项级数的和170

四、函数展开为幂级数172

五、经济中的应用173

第六章 常微分方程与差分方程175

考点与要求175

1 常微分方程175

内容精讲175

一、几个基本概念175

二、常见的一阶微分方程及其解法176

三、二阶线性微分方程176

例题分析178

一、一阶微分方程的求解178

二、二阶线性微分方程181

三、可化为微分方程求解的问题184

四、微分方程的应用186

2 差分方程188

内容精讲188

一、差分的概念188

二、一阶常系数线性差分方程188

例题分析189

第二篇 线性代数193

第一章 行列式193

考点与要求193

内容精讲193

例题分析196

一、数字型行列式的计算196

二、抽象型行列式的计算202

三、行列式｜A｜是否为零的判定204

四、关于代数余子式求和204

第二章 矩阵207

考点与要求207

内容精讲207

1 矩阵的概念及运算207

一、矩阵的概念207

二、矩阵的运算208

三、矩阵的运算规则208

四、特殊矩阵209

2 可逆矩阵210

一、可逆矩阵的概念210

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件210

三、逆矩阵的运算性质210

四、求逆矩阵的方法210

3 初等变换、初等矩阵211

一、定义211

二、初等矩阵与初等变换的性质211

4 矩阵的秩212

一、矩阵秩的概念212

二、矩阵秩的公式212

5 分块矩阵213

一、分块矩阵的概念213

二、分块矩阵的运算213

例题分析214

一、矩阵的概念及运算214

二、特殊方阵的幂218

三、伴随矩阵的相关问题220

四、可逆矩阵的相关问题223

五、初等变换、初等矩阵226

六、矩阵秩的计算227

第三章 向量232

考点与要求232

内容精讲232

1 n维向量的概念与运算232

2 线性表出、线性相关233

3 极大线性无关组、秩234

4 Schmidt正交化、正交矩阵235

例题分析235

一、线性相关的判别235

二、向量的线性表示236

三、线性相关与线性无关的证明239

四、秩与极大线性无关组241

五、正交化、正交矩阵243

第四章 线性方程组245

考点与要求245

内容精讲245

1 克拉默法则245

2 齐次线性方程组245

3 非齐次线性方程组247

例题分析248

一、线性方程组的基本概念题248

二、线性方程组的求解252

三、基础解系257

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A259

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系260

六、两个方程组的公共解262

七、同解方程组263

八、线性方程组的有关杂题265

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵268

考点与要求268

内容精讲268

1 特征值、特征向量268

一、定义268

二、特征值的性质268

三、求特征值、特征向量的方法269

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化269

一、定义269

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件269

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件270

3 实对称矩阵的相似对角化270

一、定义270

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化270

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤270

例题分析271

一、特征值，特征向量的求法271

二、两个矩阵有相同的特征值的证明275

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法276

四、矩阵是否相似于对角阵277

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数280

六、由特征值、特征向量反求A280

七、矩阵相似及相似标准形281

八、相似对角阵的应用286

第六章 二次型291

考点与要求291

内容精讲291

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵291

一、二次型概念291

二、二次型的矩阵表示291

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型292

一、定义292

3 正定二次型、正定矩阵294

一、定义294

例题分析294

一、二次型的矩阵表示294

二、化二次型为标准形、规范形295

三、合同矩阵、合同二次型301

四、正定性的判别304

五、正定二次型的证明308

六、综合杂题309

第三篇 概率论与数理统计315

第一章 随机事件与概率315

考点与要求315

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算315

内容精讲315

例题分析317

2 概率、条件概率、独立性和五大公式319

内容精讲319

例题分析320

3 古典概型与伯努利概型325

内容精讲325

例题分析326

第二章 随机变量及其概率分布329

考点与要求329

1 随机变量及其分布函数329

内容精讲329

例题分析330

2 离散型随机变量和连续型随机变量331

内容精讲331

例题分析332

3 常用分布333

内容精讲333

例题分析336

4 随机变量函数的分布339

内容精讲339

例题分析340

第三章 多维随机变量及其分布342

考点与要求342

1 二维随机变量及其分布342

内容精讲342

例题分析344

2 随机变量的独立性349

内容精讲349

例题分析350

3 二维均匀分布和二维正态分布358

内容精讲358

例题分析359

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布361

内容精讲361

例题分析362

第四章 随机变量的数字特征367

考点与要求367

1 随机变量的数学期望和方差367

内容精讲367

例题分析369

2 矩、协方差和相关系数376

内容精讲376

例题分析377

3 切比雪夫不等式385

内容精讲385

例题分析385

第五章 大数定律和中心极限定理386

考点与要求386

内容精讲386

例题分析387

第六章 数理统计的基本概念389

考点与要求389

1 总体、样本、统计量和样本数字特征389

内容精讲389

例题分析390

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布392

内容精讲392

例题分析394

第七章 参数估计399

考点与要求399

1 点估计399

内容精讲399

例题分析399

2 估计量求法404

内容精讲404

例题分析405