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1 引言1

1.1 数学优化1

1.2 最小二乘和线性规划3

1.3 凸优化6

1.4 非线性优化8

1.5 本书主要内容10

1.6 符号12

参考文献13

Ⅰ 理论17

2 凸集19

2.1 仿射集合和凸集19

2.2 重要的例子24

2.3 保凸运算31

2.4 广义不等式38

2.5 分离与支撑超平面42

2.6 对偶锥与广义不等式46

参考文献52

习题53

3 凸函数61

3.1 基本性质和例子61

3.2 保凸运算73

3.3 共轭函数85

3.4 拟凸函数90

3.5 对数-凹函数和对数-凸函数98

3.6 关于广义不等式的凸性102

参考文献106

习题106

4 凸优化问题121

4.1 优化问题121

4.2 凸优化130

4.3 线性规划问题139

4.4 二次优化问题145

4.5 几何规划153

4.6 广义不等式约束160

4.7 向量优化167

参考文献179

习题180

5 对偶207

5.1 Lagrange对偶函数207

5.2 Lagrange对偶问题215

5.3 几何解释224

5.4 鞍点解释229

5.5 最优性条件233

5.6 扰动及灵敏度分析241

5.7 例子245

5.8 择一定理250

5.9 广义不等式256

参考文献264

习题265

Ⅱ 应用283

6 逼近与拟合285

6.1 范数逼近285

6.2 最小范数问题295

6.3 正则化逼近297

6.4 鲁棒逼近307

6.5 函数拟合与插值314

参考文献329

习题329

7 统计估计337

7.1 参数分布估计337

7.2 非参数分布估计345

7.3 最优检测器设计及假设检验350

7.4 Chebyshev界和Chernoff界360

7.5 实验设计370

参考文献376

习题377

8 几何问题381

8.1 向集合投影381

8.2 集合间的距离386

8.3 Euclid距离和角度问题389

8.4 极值体积椭球394

8.5 中心400

8.6 分类406

8.7 布局与定位414

8.8 平面布置420

参考文献426

习题427

Ⅲ 算法435

9 无约束优化437

9.1 无约束优化问题437

9.2 下降方法443

9.3 梯度下降方法445

9.4 最速下降方法454

9.5 Newton方法461

9.6 自和谐473

9.7 实现484

参考文献489

习题489

10 等式约束优化497

10.1 等式约束优化问题497

10.2 等式约束的Newton方法501

10.3 不可行初始点的Newton方法507

10.4 实现520

参考文献531

习题531

11 内点法535

11.1 不等式约束的极小化问题535

11.2 对数障碍函数和中心路径536

11.3 障碍方法542

11.4 可行性和阶段1方法552

11.5 自和谐条件下的复杂性分析558

11.6 广义不等式问题568

11.7 原对偶内点法580

11.8 实现587

参考文献592

习题593

附录603

A 有关的数学知识605

A.1 范数605

A.2 分析609

A.3 函数610

A.4 导数612

A.5 线性代数617

参考文献623

B 双二次函数的问题624

B.1 单约束二次优化624

B.2 S-程序626

B.3 双对称矩阵的数值场627

B.4 强对偶结果的证明629

参考文献630

C 有关的数值线性代数知识631

C.1 矩阵结构与算法复杂性631

C.2 求解已经因式分解的矩阵的线性方程组634

C.3 LU，Cholesky和LDLT因式分解637

C.4 分块消元和Schur补642

C.5 求解不确定线性方程组650

参考文献653

参考文献654

符号670

索引673