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第Ⅰ部分 数学与自然科学相互作用总览3

第1章 什么是应用数学？3

1.1 应用数学的本质3

1.1.1 应用数学的范围、目的与实践4

1.1.2 应用数学与纯粹数学的对比5

1.1.3 应用数学与理论科学的对比6

1.1.4 工程学中的应用数学7

1.1.5 本卷计划7

1.1.6 把应用数学统一起来的某些概念8

1.2 星系结构分析导引8

1.2.1 支配星系行为的物理定律9

1.2.2 宇宙的构造组元9

1.2.3 星系分类10

1.2.4 星系的组成11

1.2.5 恒星体系的动力学12

1.2.6 横越银盘的恒星分布14

1.2.7 星系螺旋的密度波理论17

1.3 黏菌阿米巴的聚集19

1.3.1 关于黏菌阿米巴的一些事实19

1.3.2 数学模型的表述20

1.3.3 精确解：均匀态24

1.3.4 把聚集的开始当作失稳问题来分析24

1.3.5 对于分析进行解释26

附录1.1 关于应用数学的某些见解27

第2章 确定性系统和常微分方程32

2.1 行星轨道32

2.1.1 开普勒定律33

2.1.2 万有引力定律34

2.1.3 反问题：行星与彗星的轨道35

2.1.4 根据广义相对论求得的行星轨道36

2.1.5 关于方法选择的评论37

2.1.6 N个粒子：一个确定性的体系37

2.1.7 线性38

2.2 扰动理论初步，包括关于周期轨道的庞加莱方法40

2.2.1 扰动理论：初步考虑40

2.2.2 单摆43

2.2.3 关于单摆运动的逐次逼近法44

2.2.4 应用于单摆问题的扰动级数46

2.2.5 庞加莱的扰动理论47

2.2.6 庞加莱方法的推广48

2.3 常微分方程组50

2.3.1 初值问题：定理的陈述51

2.3.2 唯一性定理的证明53

2.3.3 存在性定理的证明54

2.3.4 对于一个参数或初始条件的连续依赖关系56

2.3.5 可微性57

2.3.6 非唯一性的例子59

2.3.7 有限差分法59

2.3.8 关于“纯粹”与“应用”数学之间关系的进一步评论61

第3章 随机过程与偏微分方程63

3.1 一维随机走动模型；朗之万方程64

3.1.1 一维随机走动模型64

3.1.2 显解66

3.1.3 均值，方差与母函数67

3.1.4 使用随机微分方程，通过观察布朗运动来求得玻耳兹曼常数69

3.2 渐近级数、拉普拉斯方法、伽玛函数及Stirling公式72

3.2.1 一个例子：借助于分部积分的渐近展开73

3.2.2 渐近展开理论中的定义74

3.2.3 拉普拉斯方法75

3.2.4 伽玛函数的渐近Stirling级数展开77

3.2.5 逐项积分法的合法性80

3.3 差分方程及其极限81

3.3.1 概率函数的差分方程82

3.3.2 以微分方程来逼近差分方程82

3.3.3 概率分布函数的微分方程的解84

3.3.4 关于极限过程的进一步考察85

3.3.5 反射与吸收势垒86

3.3.6 凝固作用：首次穿越理论的应用87

3.4 有关概率和偏微分方程之间关系的进一步考虑89

3.4.1 关于扩散方程及其与随机走动之间关系的进一步讨论90

3.4.2 基本解的叠加：镜像法92

3.4.3 作为一种流量的首次穿越时间93

3.4.4 扩散问题中的广义初值问题93

3.4.5 把一根杆扭曲是如何给出了关于DNA分子的信息的95

3.4.6 布朗运动的递归性质97

附录3.1 符号O和0100

第4章 叠加法、热流动和傅里叶分析102

4.1 热传导103

4.1.1 定态热传导103

4.1.2 一维热传导的微分方程104

4.1.3 一维热传导的初始边值问题105

4.1.4 过去、现在和将来106

4.1.5 三维空间中的热传导107

4.1.6 唯一性定理的证明108

4.1.7 极大值原理109

4.1.8 分离变量求解法110

4.1.9 解释；无量纲表示式113

4.1.10 对于扩散到某一给定距离所需时间的估计114

4.2 傅里叶定理116

4.2.1 傅里叶正弦级数的加法116

4.2.2 引理的证明118

4.2.3 一个形式变换120

4.2.4 全范围中的傅里叶级数120

4.2.5 傅里叶级数的加法121

4.2.6 半范围级数122

4.3 傅里叶级数的性质122

4.3.1 常值函数的傅里叶级数122

4.3.2 线性函数的傅里叶级数123

4.3.3 二次函数的傅里叶级数124

4.3.4 傅里叶级数的积分和微分124

4.3.5 吉布斯现象126

4.3.6 具有最小二乘误差的近似128

4.3.7 贝塞尔不等式和Parseval定理131

4.3.8 Riesz-Fischer定理131

4.3.9 Parseval定理的应用132

第5章 傅里叶分析的进一步讨论135

5.1 热传导的其他方面135

5.1.1 地下温度的变化135

5.1.2 传热方程的数值积分138

5.1.3 非均匀介质中的热传导140

5.2 Sturm-Liouville系统143

5.2.1 本征值和本征函数的性质144

5.2.2 正交性和正规化144

5.2.3 按本征函数展开146

5.2.4 本征函数与本征值的渐近近似147

5.2.5 计算本征函数与本征值的其他方法149

5.3 傅里叶变换的简短导引150

5.3.1 傅里叶变换公式与傅里叶恒等式150

5.3.2 用傅里叶变换求解传热方程153

5.4 广义调和分析154

5.4.1 关于不能用标准傅里叶方法分析的函数的评注155

5.4.2 截断正弦函数的傅里叶级数分析155

5.4.3 截断正弦函数的傅里叶积分分析156

5.4.4 推广到稳态时间序列159

5.4.5 自相关函数和功率谱160

5.4.6 功率谱与自相关之间的余弦变换关系的核验161

5.4.7 应用162

第Ⅱ部分 用常微分方程说明的一些基本过程167

第6章 简化，量纲分析和尺度化167

6.1 基本简化步骤167

6.1.1 基本简化步骤示例168

6.1.2 两个惩戒性的例子169

6.1.3 调节和灵敏度170

6.1.4 函数的零点171

6.1.5 二阶微分方程172

6.1.6 建议175

6.2 量纲分析176

6.2.1 把一个微分方程化成无量纲形式177

6.2.2 函数关系的无量纲化179

6.2.3 几何相似模型的应用181

6.2.4 总结183

6.3 尺度化188

6.3.1 尺度化的定义190

6.3.2 抛射问题的尺度化190

6.3.3 数量级192

6.3.4 已知函数的尺度化193

6.3.5 正统性197

6.3.6 尺度化和扰动理论200

6.3.7 尺度化未知函数200

第7章 正则扰动理论203

7.1 应用于单摆问题的级数方法203

7.1.1 预备知识203

7.1.2 级数方法205

7.1.3 至此所得结果的讨论208

7.1.4 高阶项209

7.2 用扰动理论求解抛射问题211

7.2.1 级数方法211

7.2.2 参数微商法215

7.2.3 逐次逼近法（迭代方法）216

7.2.4 关于正则扰动理论的总评述219

第8章 一个生理流动问题的求解及其所示明的技巧222

8.1 一个靠渗透驱赶的固定梯度流动模型的物理表述和量纲分析222

8.1.1 一些生理学事实222

8.1.2 渗透作用和渗透压克分子224

8.1.3 影响固定梯度流动的因素225

8.1.4 函数关系的量纲分析227

8.1.5 建立按比例放大的固定梯度流动模型的可能性230

8.2 一个数学模型及其量纲分析230

8.2.1 流体质量的守恒230

8.2.2 溶质质量的守恒231

8.2.3 边界条件232

8.2.4 无量纲变量的引进234

8.2.5 量纲分析的物理方法和数学方法的比较236

8.3 求得最终尺度化了的无量纲形式的数学模型238

8.3.1 尺度化238

8.3.2 无量纲参数大小的估算240

8.3.3 一个失败的正则扰动计算240

8.3.4 参数之间的关系241

8.3.5 最终的表述243

8.4 解答和解释244

8.4.1 解的一级近似244

8.4.2 数值计算的比较245

8.4.3 解释：无量纲参数的物理意义247

8.4.4 结束语249

第9章 奇异扰动理论引论251

9.1 高次方程的根252

9.1.1 一个简单问题252

9.1.2 一个比较复杂的问题254

9.1.3 尺度化的应用257

9.2 常微分方程的边值问题258

9.2.1 对一个模型问题的精确解的研究258

9.2.2 用奇异扰动法求近似解263

9.2.3 匹配265

9.2.4 进一步的例子266

第10章 奇异扰动理论在生化动力学问题中的一个应用273

10.1 关于一种酶——一个底物的化学反应初值问题的表述273

10.1.1 质量作用定律273

10.1.2 酶催化275

10.1.3 尺度化以及问题的最终表述277

10.2 用奇异扰动方法求得的近似解278

10.2.1 作为外部解的Michaelis-Menten动力学278

10.2.2 内部解279

10.2.3 一致近似280

10.2.4 关于已知结果的评论281

10.2.5 高阶近似282

10.2.6 对于长时间的进一步分析286

10.2.7 关于近似解的进一步讨论287

第11章 应用于单摆问题的三种技巧291

11.1 单摆正常平衡和倒置平衡的稳定性291

11.1.1 确定平衡的稳定性291

11.1.2 结果的讨论293

11.2 多重尺度展开294

11.2.1 把一个双尺度级数代入摆方程296

11.2.2 求解最低阶方程297

11.2.3 较高阶的近似，排除共振项298

11.2.4 提要和讨论299

11.3 相平面303

11.3.1 非阻尼单摆的位相图304

11.3.2 分离线305

11.3.3 临界点306

11.3.4 极限环307

11.3.5 轨道在临界点附近的性质307

第Ⅲ部分 连续介质场理论引论315

第12章 杆的纵向运动315

12.1 基本方程的推导315

12.1.1 几何形状315

12.1.2 物质导数和雅可比318

12.1.3 质量守恒321

12.1.4 力和应力323

12.1.5 线动量的平衡324

12.1.6 应变和应力-应变关系327

12.1.7 初始条件和边界条件330

12.1.8 线性化332

12.2 一维弹性波的传播339

12.2.1 波动方程339

12.2.2 波动方程的通解339

12.2.3 解的物理意义341

12.2.4 解的复数形式341

12.2.5 正弦波分析342

12.2.6 一个属性间断面的影响343

12.3 间断解349

12.3.1 间断面的运动350

12.3.2 间断面的性质356

12.4 功、能量和振动360

12.4.1 功和能量360

12.4.2 一个振动问题363

12.4.3 瑞利商363

12.4.4 本征值和本征函数的性质364

12.4.5 属性不变时的一个精确解365

12.4.6 把最低的本征值表征为瑞利商的极小值366

12.4.7 对一个楔的最低本征值的估算366

第13章 连续介质370

13.1 连续介质模型371

13.1.1 分子平均372

13.1.2 质量分布函数373

13.1.3 连续介质作为一个独立的模型375

13.2 可变形介质的运动学376

13.2.1 点和微团376

13.2.2 物质描述和空间描述377

13.2.3 流线和微团的轨道379

13.2.4 一个简单的运动学边界条件382

13.3 物质导数383

13.4 雅可比及其物质导数386

附录13.1390

附录13.2392

附录13.3393

第14章 连续介质力学的场方程396

14.1 质量守恒396

14.1.1 积分方法：任意物质区域397

14.1.2 积分方法：任意空间区域400

14.1.3 小盒方法400

14.1.4 大盒方法402

14.2 线动量平衡409

14.2.1 局部应力平衡411

14.2.2 作用和反作用412

14.2.3 应力张量413

14.2.4 微分方程形式的牛顿第二定律415

14.3 角动量平衡418

14.3.1 扭矩和角动量418

14.3.2 极性流体419

14.3.3 应力张量的对称性420

14.3.4 局部力矩平衡原则420

14.3.5 一个立方体的局部力短平衡421

14.4 能量和熵424

14.4.1 理想气体424

14.4.2 平衡热力学427

14.4.3 非均匀性和运动的影响428

14.4.4 能量平衡428

14.4.5 熵、温度和压力430

14.4.6 内能和形变率432

14.4.7 流体中的能量和熵433

14.5 本构方程、协变性和连续介质模型436

14.5.1 场方程的扼要再述437

14.5.2 本构方程引论438

14.5.3 协变性原则438

14.5.4 经典连续介质力学的有效性441

附录14.1 空间均匀物质的热力学442

附录14.2 一些历史记注450

第15章 无黏性流体的流动453

15.1 静止流体和无黏性流体中的应力453

15.1.1 分子观点453

15.1.2 连续介质观点454

15.1.3 流体静力学455

15.1.4 无黏性流体457

15.2 分层流体的稳定性460

15.2.1 基本方程及其精确平衡解462

15.2.2 扰动的线化方程463

15.2.3 把增长率σ表征为一个本征值466

15.2.4 定性的一般推导468

15.2.5 一个特殊分层问题的详细结果469

15.2.6 正态模的叠加473

15.2.7 非线性效应474

15.2.8 已解得的例子：一个黏性流动失稳的模型475

15.3 气体中的压缩波482

15.3.1 完全气体的无黏等熵流动482

15.3.2 小振幅波483

15.3.3 声速485

15.3.4 球面波485

15.3.5 一维非线性波486

15.3.6 激波489

15.4 绕圆柱的均匀流动493

15.4.1 表述493

15.4.2 用变量分离法求解494

15.4.3 解的解释497

附录15.1 三维情况下达朗伯佯谬的一种证明501

附录15.2 极坐标和柱坐标504

第16章 位势理论506

16.1 拉普拉斯方程和泊松方程506

16.1.1 离散质量分布的引力位势506

16.1.2 连续介质分布区的引力位势507

16.1.3 关于调和函数的定理509

16.1.4 泊松方程解的积分表达式511

16.1.5 唯一性512

16.2 格林函数513

16.2.1 狄利克雷问题的格林函数513

16.2.2 利用格林函数表示调和函数514

16.2.3 格林函数的对称性514

16.2.4 简单区域的显公式515

16.2.5 源、像以及倒易概念的广泛应用516

16.2.6 诺伊曼问题的格林函数517

16.2.7 霍姆亥兹方程的格林函数518

16.3 小孔对声波的衍射519

16.3.1 表述519

16.3.2 选择合适的格林函数521

16.3.3 衍射积分的推导522

16.3.4 衍射积分的近似计算523

参考书目526

提示和答案532