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第1章 函数1

1.1 集合1

1.1.1 区间与邻域1

1.1.2 函数的概念2

1.1.3 初等函数3

1.2 函数的参数方程与极坐标方程5

1.2.1 函数的参数方程5

1.2.2 函数的极坐标方程6

1.3 复数7

1.3.1 复数域7

1.3.2 复数的模与辐角8

复习题一9

第2章 极限与连续10

2.1 数列的极限10

2.1.1 引例10

2.1.2 数列的极限11

习题2.115

2.2 函数的极限15

2.2.1 自变量趋于无穷大时函数的极限16

2.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限17

2.2.3 有界变量、无穷小与无穷大19

习题2.222

2.3 极限的性质与运算法则23

2.3.1 极限的性质23

2.3.2 极限的运算法则24

习题2.329

2.4 极限存在准则与两个重要极限30

2.4.1 夹逼准则30

2.4.2 单调有界收敛准则32

2.4.3 连续复利35

习题2.436

2.5 无穷小的比较37

2.5.1 无穷小的比较37

2.5.2 等价无穷小38

习题2.539

2.6 函数的连续性与间断点40

2.6.1 函数的连续性40

2.6.2 函数的间断点41

2.6.3 连续函数的运算性质42

习题2.643

2.7 连续函数的性质44

2.7.1 最大值与最小值定理44

2.7.2 零点定理与介值定理45

习题2.746

复习题二46

第3章 导数与微分49

3.1 导数的概念49

3.1.1 引例——变化率问题49

3.1.2 导数的定义51

3.1.3 导数的几何意义55

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系56

习题3.157

3.2 求导法则与基本初等函数的求导公式58

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则58

3.2.2 反函数的求导法则60

3.2.3 复合函数的求导法则61

3.2.4 求导法则与基本初等函数导数公式表64

习题3.265

3.3 高阶导数67

习题3.369

3.4 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数70

3.4.1 隐函数的导数70

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数72

习题3.474

3.5 微分及其简单应用75

3.5.1 微分的定义75

3.5.2 可微与可导的关系75

3.5.3 微分的几何意义77

3.5.4 基本初等函数的微分公式与微分运算法则77

3.5.5 微分形式的不变性78

3.5.6 微分在近似计算中的应用80

习题3.581

复习题三82

第4章 微分中值定理与导数的应用84

4.1 微分中值定理84

4.1.1 罗尔中值定理84

4.1.2 拉格朗日中值定理87

4.1.3 柯西中值定理90

习题4.191

4.2 洛必达法则92

4.2.1 0/0型未定式92

4.2.2 ∞／∞型未定式94

4.2.3 0·∞，∞—∞，00,1∞，∞0型未定式95

习题4.297

4.3 函数的单调性、极值与最值97

4.3.1 函数的单调性97

4.3.2 函数的极值100

4.3.3 函数的最大值和最小值104

习题4.3106

4.4 曲线的凹凸性与拐点107

4.4.1 曲线的凹凸性107

4.4.2 曲线的拐点108

习题4.4109

4.5 函数图形的描绘109

习题4.5112

4.6 导数在经济学中的应用112

4.6.1 经济学中的常用函数112

4.6.2 导数在经济分析中的应用116

4.6.3 函数最值的经济应用问题122

习题4.6126

4.7 泰勒公式127

习题4.7131

复习题四132

第5章 不定积分134

5.1 不定积分的概念与性质134

5.1.1 原函数与不定积分的概念134

5.1.2 基本积分公式表136

5.1.3 不定积分的性质137

习题5.1138

5.2 换元积分法138

5.2.1 第一类换元积分法139

5.2.2 第二类换元积分法144

习题5.2148

5.3 分部积分法150

习题5.3153

5.4 有理函数的积分154

5.4.1 真分式的分解154

5.4.2 有理函数的积分156

习题5.4158

复习题五159

第6章 定积分162

6.1 定积分的概念与性质162

6.1.1 问题的提出162

6.1.2 定积分的定义164

6.1.3 定积分的几何意义165

习题6.1166

6.2 定积分的性质167

习题6.2170

6.3 微积分基本公式170

6.3.1 变速直线运动的位置函数与速度函数之间的联系170

6.3.2 积分上限函数及其导数171

6.3.3 牛顿-莱布尼茨公式172

习题6.3174

6.4 定积分的换元积分法175

习题6.4178

6.5 定积分的分部积分法179

习题6.5181

6.6 反常积分与Г函数182

6.6.1 无穷限区间上的反常积分182

6.6.2 无界函数的反常积分183

6.6.3 ．Г函数185

习题6.6186

6.7 定积分的几何应用187

6.7.1 定积分的微元法（元素法）187

6.7.2 微元法在求平面图形面积中的应用188

6.7.3 微元法在求特殊立体体积中的应用191

习题6.7194

6.8 定积分在经济学中的应用195

6.8.1 由变化率求总量函数195

6.8.2 收益流的现值与将来值197

习题6.8199

复习题六199

第7章 多元函数微分学202

7.1 空间直角坐标系与空间曲面202

7.1.1 空间直角坐标系202

7.1.2 空间中的曲面与方程204

7.1.3 柱面和旋转曲面205

7.1.4 常见的二次曲面简介207

习题7.1208

7.2 多元函数的概念209

7.2.1 平面区域209

7.2.2 多元函数的概念210

习题7.2211

7.3 二元函数的极限与连续211

7.3.1 二元函数的极限211

7.3.2 二元函数的连续性213

习题7.3214

7.4 偏导数与全微分214

7.4.1 偏导数214

7.4.2 全微分217

习题7.4220

7.5 多元复合函数微分法221

7.5.1 全导数公式221

7.5.2 复合函数求偏导数公式223

习题7.5225

7.6 隐函数微分法226

7.6.1 一元隐函数的求导公式226

7.6.2 二元隐函数求偏导数的公式227

7.6.3 由方程组确定的隐函数偏导数的计算公式228

习题7.6230

7.7 高阶偏导数231

习题7.7234

7.8 多元函数的极值与条件极值235

7.8.1 极值235

7.8.2 条件极值237

习题7.8240

7.9 多元函数微分法的应用举例241

7.9.1 偏边际与偏弹性241

7.9.2 拉格朗日乘数的一种解释243

7.9.3 最小二乘法245

习题7.9246

复习题七247

第8章 二重积分250

8.1 二重积分的概念与性质250

8.1.1 二重积分的概念250

8.1.2 二重积分的几何意义252

8.1.3 二重积分的性质252

习题8.1253

8.2 二重积分的计算253

8.2.1 利用直角坐标系计算二重积分253

8.2.2 利用极坐标计算二重积分256

8.2.3 反常（广义）二重积分简介259

习题8.2261

复习题八263

第9章 无穷级数265

9.1 常数项级数的概念与性质265

9.1.1 常数项级数的概念265

9.1.2 常数项级数的性质270

习题9.1272

9.2 正项级数273

9.2.1 正项级数收敛的充要条件273

9.2.2 正项级数的比较审敛法274

9.2.3 正项级数的比值审敛法和根值审敛法277

9.2.4 正项级数的积分审敛法279

习题9.2281

9.3 任意项级数282

9.3.1 交错级数及其审敛法282

9.3.2 绝对收敛与条件收敛283

习题9.3285

9.4 幂级数285

9.4.1 函数项级数的概念285

9.4.2 幂级数及其收敛性286

9.4.3 幂级数的性质290

习题9.4293

9.5 函数的幂级数展开294

9.5.1 泰勒级数294

9.5.2 函数展开成幂级数的方法297

习题9.5302

9.6 函数幂级数展开式的应用303

9.6.1 利用幂级数展开式求函数的n阶导数303

9.6.2 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用305

习题9.6306

复习题九306

第10章 微分方程与差分方程309

10.1 微分方程的基本概念309

习题10.1311

10.2 一阶微分方程311

10.2.1 可分离变量的微分方程312

10.2.2 一阶线性微分方程313

10.2.3 用适当的变量替换解微分方程314

10.2.4 一阶微分方程的应用318

习题10.2320

10.3 可降阶的二阶微分方程321

10.3.1 y″＝f（x）型的微分方程321

10.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程322

10.3.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程322

习题10.3323

10.4 二阶线性微分方程324

10.4.1 二阶线性微分方程解的理论324

10.4.2 二阶常系数线性微分方程325

10.4.3 欧拉方程329

习题10.4330

10.5 差分与差分方程的概念、线性差分方程解的结构331

10.5.1 差分的概念331

10.5.2 差分方程的概念332

10.5.3 线性差分方程解的结构333

习题10.5334

10.6 一阶常系数线性差分方程334

10.6.1 一阶常系数齐次线性差分方程的求解334

10.6.2 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解335

10.6.3 一阶常系数差分方程在经济中的应用336

习题10.6338

10.7 二阶常系数线性差分方程339

10.7.1 二阶常系数齐次线性差分方程的解法339

10.7.2 二阶常系数非齐次线性差分方程的解法340

习题10.7342

复习题十342

部分习题答案345

参考文献382