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绪论1

一、数值线性代数的基本问题1

二、研究数值方法的必要性2

三、矩阵分解是设计算法的主要技巧3

四、敏度分析与误差分析4

五、算法复杂性与收敛速度6

六、算法的软件实现与现行数值线性代数软件包7

七、符号说明8

第一章 线性方程组的直接解法10

1.1 三角形方程组和三角分解11

1.1.1 三角形方程组的解法11

1.1.2 Gauss变换13

1.1.3 三角分解的计算15

1.2 选主元三角分解20

1.3 平方根法27

1.4 分块三角分解33

习题36

上机习题39

第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析41

2.1 向量范数和矩阵范数41

2.1.1 向量范数41

2.1.2 矩阵范数43

2.2 线性方程组的敏度分析51

2.3 基本运算的舍入误差分析56

2.4 列主元Gauss消去法的舍入误差分析62

2.5 计算解的精度估计和迭代改进68

2.5.1 精度估计68

2.5.2 迭代改进72

习题72

上机习题75

第三章 最小二乘问题的解法76

3.1 最小二乘问题76

3.2 初等正交变换84

3.2.1 Householder变换84

3.2.2 Givens变换88

3.3 正交变换法90

习题97

上机习题99

第四章 线性方程组的古典迭代解法101

4.1 单步线性定常迭代法102

4.1.1 Jacobi迭代法102

4.1.2 Gauss-Seidel迭代法103

4.1.3 单步线性定常迭代法104

4.2 收敛性理论105

4.2.1 收敛的充分必要条件105

4.2.2 收敛的充分条件及误差估计106

4.2.3 Jacobi迭代法与G-S迭代法的收敛性107

4.3 收敛速度116

4.3.1 平均收敛速度和渐近收敛速度116

4.3.2 模型问题118

4.3.3 Jacobi迭代法和G-S迭代法的渐近收敛速度121

4.4 超松弛迭代法122

4.4.1 迭代格式122

4.4.2 收敛性分析123

4.4.3 最佳松弛因子125

4.4.4 渐近收敛速度129

4.4.5 超松弛理论的推广130

习题134

上机习题136

第五章 共轭梯度法138

5.1 最速下降法138

5.2 共轭梯度法及其基本性质143

5.2.1 共轭梯度法143

5.2.2 基本性质146

5.3 实用共轭梯度法及其收敛性149

5.3.1 实用共轭梯度法149

5.3.2 收敛性分析150

5.4 预优共轭梯度法152

5.5 Krylov子空间法156

5.5.1 正则化方法157

5.5.2 残量极小化方法157

5.5.3 残量正交化方法158

习题158

上机习题159

第六章 非对称特征值问题的计算方法161

6.1 基本概念与性质161

6.2 幂法164

6.3 反幂法169

6.4 QR方法174

6.4.1 基本迭代与收敛性174

6.4.2 实Schur标准形178

6.4.3 上Hessenberg化179

6.4.4 带原点位移的QR迭代185

6.4.5 双重步位移的QR迭代187

6.4.6 隐式QR算法193

习题196

上机习题201

第七章 对称特征值问题的计算方法203

7.1 基本性质203

7.2 对称QR方法205

7.2.1 三对角化205

7.2.2 隐式对称QR迭代207

7.2.3 隐式对称QR算法209

7.3 Jacobi方法211

7.3.1 经典Jacobi方法211

7.3.2 循环Jacobi方法及其变形216

7.3.3 Jacobi方法的并行方案218

7.4 二分法219

7.5 分而治之法225

7.5.1 分割225

7.5.2 胶合226

7.6 奇异值分解的计算232

7.6.1 二对角化232

7.6.2 SVD迭代234

7.6.3 SVD算法239

习题240

上机习题244

参考文献245

名词索引247