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第一章 广义函数的定义与一般性质1

内容提要1

1.函数概念的推广：测度的概念2

记号2

测度3

支集4

函数与测度5

在开集上的限制6

2.测度概念的推广.广义函数7

偶极子7

空间（？）7

单位分解8

拓扑空间（？K）9

广义函数10

广义函数与测度10

3.局部化原理.广义函数的支集11

在某个开集内为零的广义函数11

“分片粘贴”原理12

广义函数的支集12

4.非负广义函数13

5.各种推广14

向量值广义函数14

无穷可微流形上的广义函数15

第二章 广义函数的求导17

内容提要17

1.导数的定义18

正则函数的导数18

广义函数的导数19

2.求导的例子.单变量的情形（n=1）19

间断函数.Heaviside函数Y（x）的各阶导数20

分段正则函数的各阶导数20

赝函数.Hadamard所定义的有限部分21

单项式赝函数24

3.求导的例子.多变量的情形26

曲面上的间断函数26

距离的函数27

亚纯函数30

双曲距离31

流形上的求导32

4.广义函数的原函数.单变量的情形33

广义函数的原函数33

测度的原函数34

5.广义函数的原函数.多变量的情形35

不依赖x1的广义函数35

原函数的寻求37

偏导数为函数的函数37

6.多个偏导数已知的广义函数39

一阶偏导数均为连续函数的广义函数41

第三章 广义函数的拓扑空间 广义函数的结构43

内容提要43

1.拓扑空间（？）44

空间（？K）的拓扑44

空间（？）的拓扑45

空间（？）的拓扑与空间（？）的拓扑之间的关系46

2.空间（？）中的有界集47

对偶空间的拓扑47

空间（？）中的有界集48

有界集与紧集；自反性49

3.广义函数的拓扑空间（？）49

空间（？′）中的收敛性49

空间（？′）的拓扑性质50

空间（？′）中的有界集与紧集；自反性51

逼近定理52

收敛判别准则53

4.求导的拓扑定义54

一阶导数54

任意阶导数54

单调函数55

5.求导，连续线性运算56

求导的连续性56

收敛准则57

6.广义函数的局部结构57

广义函数与连续函数的导数57

广义函数的有界集59

收敛的广义函数序列60

7.具有紧支集的广义函数61

当？的支集任意时T（？）的定义61

空间（？）与（？′）62

空间（？）与（？′）之间的对偶62

具有紧支集的广义函数的结构63

8.广义函数的整体结构67

9.正则支集69

10.支集包含在某个子流形中的广义函数的结构70

具有点状支集的广义函数70

支集为Rn的向量子空间的广义函数71

支撑在无穷可微流形Vn的正则浸入子流形Uh上的广义函数72

第四章 广义函数的张量积73

内容提要73

1.含参积分73

问题的提出73

关于参数的连续性74

可微性74

2.两个广义函数的张量积75

3.张量积的唯一性，存在性以及计算76

逼近定理.张量积的唯一性76

张量积的存在性及其计算77

4.张量积的性质78

支集78

连续性78

求导80

逼近定理80

5.一些例子81

不依赖x1的广义函数81

定义在某个向量子空间上的广义函数在整个空间上的延拓82

Heaviside函数和Dirac测度82

第五章 广义函数的乘法83

内容提要83

1.广义函数与无穷可导函数的乘积84

定义两个任意的广义函数的乘积的不可能性84

定义84

2.乘积的性质85

支集.阶85

连续性85

求导86

张量积与乘积86

多个广义函数的乘积87

3.例子87

4.除法问题，单变量的情形（n=1）88

问题的提出88

以x为分母做除法89

以xl为分母做除法90

以某个函数H为分母做除法90

5.多变量情形的除法问题的概述91

6.在常微分方程和偏微分方程中的应用92

定义92

常微分方程94

偏微分方程的解的一个性质96

Cauchy问题96

基本解98

基本核100

椭圆方程组解的正则性102

第六章 卷积107

内容提要107

1.通常意义下的卷积的定义108

两个函数的卷积108

函数与测度的卷积109

两个测度的卷积110

2.空间Rn上的两个广义函数的卷积110

泛函定义.两个函数的情形110

两个广义函数的情形111

对支集的限制111

存在性与计算111

3.卷积的性质112

支集112

连续性113

卷积与张量积113

结合律与交换律114

卷积，平移，求导114

卷积，平移运算的线性组合116

与求导可交换的运算117

推广118

多项式求导算子118

4.广义函数的正则化119

定义119

连续性120

点积与卷积的迹121

几个公式122

5.支集非紧时的卷积123

定义和性质123

交换律与结合律123

不满足结合律的例子123

单变量（n=1）符号计算中的运算124

应用：非整数阶求导125

多变量符号计算中的运算127

6.卷积在积分研究中的应用130

在原函数研究中的应用130

一阶偏导数均为测度的广义函数131

Lipschitz条件134

高阶导数136

所提出的问题138

7.卷积在一个或一族广义函数的正则化研究中的应用138

对测度以及阶有限的广义函数的刻画138

评注与推论139

广义函数的有界集140

收敛的广义函数序列142

应用：对定理10的改进142

应用：对解析函数的刻画143

8.新的广义函数空间（？′Lp）144

空间（？′Lp）144

广义函数空间（？′Lp）144

对（？′Lp）中广义函数的刻画145

空间（？）和（？′L1）之间的对偶146

空间（？′Lp）中的乘法与卷积146

有界广义函数的另外一个定义.推广148

9.概周期广义函数148

定义148

运算与性质149

均值与卷积149

Fourier展开150

10.在偏微分方程与积分方程中的应用151

卷积方程151

卷积方程解的一般性质152

基本解152

基本解的用途153

Newton势Poisson公式155

齐次椭圆方程组解的解析性155

特殊情形：调和函数与全纯函数156

卷积不等方程.F.Riesz分解公式158

在上调和函数上的应用159

评注与推广160

第七章 Fourier变换161

内容提要161

1.Fourier级数162

环面上的广义函数162

Fourier级数163

例子与应用165

环面上的广义函数与Rn上的周期广义函数166

2.n维空间上通常的Fourier变换167

通常的Fourier变换167

广义函数的情形169

3.空间Rn上的速降无穷可导函数的空间（？）169

空间（？）169

几何解释171

4.缓增广义函数的空间（？′）172

空间（？）的对偶（？′）172

空间（？′）的几何解释173

利用增长性对缓增广义函数的刻画173

缓增非负测度175

延拓定理176

5.缓增广义函数空间（？′）中的代数运算176

缓增无穷可导函数空间（？M）176

速降广义函数空间（？′C）177

重要的评注177

空间（？′）中的乘法178

空间（？′）中的卷积179

6.缓增广义函数的Fourier变换181

Fourier变换以及Xn和Yn的自同构183

评注184

7.例子184

例1184

例2.Fourier级数与Fourier积分185

例3.测度的Fourier变换186

例4.空间（？′Lp）上的Fourier变换187

例5.距离的函数188

例6.亚纯函数190

例7.Hermite多项式的Fourier变换190

例8.双曲距离193

例9.利用逐次积分来计算Fourier变换194

8.Fourier变换的性质196

张量积196

乘积与卷积196

例子198

谱为紧集的广义函数.广义Paley-Wiener定理199

9.非负型广义函数200

非负型函数200

非负型广义函数201

非负型广义函数与非负型测度202

非负型广义函数上的运算203

非负型广义函数的结构204

例子205

10.在偏微分方程与积分方程中的应用206

卷积方程的Fourier变换206

齐次卷积方程207

对基本解的寻求209

例1.椭圆方程209

例2.迭代Laplace方程211

例3.迭代热传导方程211

例4.双曲方程212

例5.积分方程213

例6214

例7.Fredholm定理215

常数项为任意缓增广义函数的方程的求解216

例1217

例2217

除法问题的解的推论218

第八章 Laplace变换219

内容提要219

1.广义函数与指数函数的乘积220

2.与？n的非空凸子集Γ相伴的广义函数空间？′x（Γ）223

3.空间？′x（Γ）上的Laplace变换224

各种评注226

4.从一个广义函数的Laplace变换出发对其支集的研究227

第九章 流形上的流231

内容提要231

1.无穷可微流形上的偶形式与奇形式232

寻常形式或偶形式232

奇形式或挠形式233

定向流形上的偶形式与奇形式234

形式之间的外积235

空间Rn上的形式236

形式的逆像237

？∞类形式的上同调238

2.流形上的偶流与奇流238

流238

例子239

非负流249

定向流形上的偶流与奇流249

流与广义函数249

向量丛纤维空间的截面-广义函数250

3.流上的初等运算251

第一种运算：流与？∞类形式的外积251

第二种运算：流与？∞类多重向量场的内乘253

第三种运算：流的上边缘253

带边流形V上的流的上边缘258

第四种运算：流关于无穷小变换的求导259

关于上同调的de Rham定理261

4.流在？∞类映射下的直接像267

定向流形的情形273

微分同胚的情形.结构转移273

5变量替换.流的逆像275

变量替换275

无穷可微奇形式的直接像276

偶流的逆像276

逆像的基本性质：传递性，支集，乘法，上边缘277

映射H为局部微分同胚的情形279

例子：一维变量替换279

纤维空间283

在一个从Um到Vn、秩为n的映射下的流的逆像287

应用与例子288

6.有限维向量空间上的缓增流的Fourier变换292

参考文献295

法中专业术语对照313

索引317

记号索引321

函数空间与广义函数空间索引323