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第1篇 常微分方程数值解3

引言3

第1章 常微分方程初值问题的理论基础4

第2章 常微分方程初值问题的数值方法5

2.1 Euler方法5

2.1.1 显式Euler法5

2.1.2 隐式Euler方法6

2.2 梯形方法9

2.3 Runge-Kutta方法11

2.3.1 Runge-Kutta方法11

2.3.2 Runge-Kutta方法的构造12

2.4 单步法的收敛性与相容性17

2.4.1 单步法的收敛性17

2.4.2 单步法的相容性18

2.5 一般线性多步法19

2.5.1 显式Adams方法（外插法）19

2.5.2 隐式Adams方法（内插法）20

2.6 一般线性多步法的收敛性和稳定性22

2.6.1 线性差分方程的基本性质22

2.6.2 一般线性多步法的收敛性和稳定性24

第2篇 偏微分方程数值解31

第3章 基本理论及概念31

3.1 偏微分方程定解问题31

3.2 差分方程31

3.2.1 定解区域的离散化31

3.2.2 差分格式32

3.2.3 显式格式与隐式格式34

3.3 截断误差和收敛性35

3.3.1 截断误差的概念35

3.2.2 推导截断误差的方法36

3.3.3 差分格式的收敛性37

3.3.4 差分格式的稳定性38

3.4 差分格式的构造方法38

3.4.1 数值微分法38

3.4.2 积分插值法39

3.4.3 待定系数法40

第4章 椭圆型方程的有限差分方法43

4.1 Dirichlet边值问题43

4.2 五点差分格式44

4.2.1 差分格式的建立44

4.2.2 差分格式解的存在性47

4.2.3 差分格式的求解47

4.2.4 差分格式解的先验估计48

4.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性50

4.2.6 数值计算与Matlab模拟51

4.3 紧差分格式55

4.3.1 差分格式的建立55

4.3.2 差分格式的求解57

4.3.3 差分格式解的收敛性和稳定性58

第5章 抛物型方程的差分方法60

5.1 一维线性抛物方程60

5.2 向前差分格式60

5.2.1 差分格式的建立61

5.2.2 差分格式解的存在性62

5.2.3 差分格式的求解63

5.2.4 差分格式解的先验估计63

5.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性63

5.3 向后差分格式65

5.3.1 差分格式的建立65

5.3.2 差分格式解的存在性66

5.3.3 差分格式解的先验估计66

5.3.4 差分格式解的收敛性和稳定性67

5.4 Richardson格式67

5.4.1 差分格式的建立67

5.4.2 差分格式的求解68

5.4.3 差分格式的不稳定性69

5.5 Grank-Nicolson格式69

5.5.1 差分格式的建立70

5.5.2 差分格式解的存在性71

5.5.3 差分格式解的先验估计72

5.5.4 差分格式解的收敛性和稳定性72

5.6 数值模拟73

第6章 双曲型方程的有限差分方法75

6.1 波动方程75

6.2 显式差分格式79

6.2.1 差分格式的建立79

6.2.2 差分格式解的收敛性和稳定性81

6.3 隐式差分格式82

6.3.1 差分格式的建立82

6.3.2 差分格式解的收敛性和稳定性86

6.4 数值模拟87

6.5 一阶双曲方程89

6.5.1 迎风格式89

6.5.2 积分守恒的差分格式91

6.5.3 其他差分格式92

6.5.4 数值模拟93

第7章 谱方法96

7.1 Fourier谱方法96

7.1.1 指数正交多项式96

7.1.2 一阶波动方程的Fourier谱方法97

7.2 Chebyshev谱方法98

7.2.1 Chebyshev多项式98

7.2.2 Gauss型积分的节点和权函数99

7.2.3 数值分析100

7.2.4 数值模拟101

7.2.5 热传导方程的应用103

第8章 有限元方法107

8.1 边值问题的变分形式107

8.1.1 Sobolcv空间H m（I）107

8.1.2 a（u，υ）基本性质110

8.2 有限元法112

8.2.1 Ritz-Galerkin法112

8.2.2 有限元法构造114

8.3 线性有限元法的误差估计117

8.3.1 H1估计117

8.3.2 L2估计118

8.4 二次元119

8.4.1 单元插值函数120

8.4.2 有限元方程的形成122

8.5 椭圆型方程边值问题的有限元法123

8.5.1 变分原理123

8.5.2 Ritz-Galerkin方法124

8.5.3 有限元方法125

8.6 抛物型方程初边值问题的有限元法128

第3篇 分数阶偏微分方程数值解135

引言135

第9章 分数阶微积分的相关概念及算法136

9.1 分数阶微积分定义及其相互关系136

9.2 Riemann-Liouville分数阶微积分的G算法138

9.3 Riemann-Liouville分数阶导数的D算法140

9.4 Riemann-Liouville分数阶积分的R算法141

9.5 分数阶导数的L算法143

9.6 分数阶差商逼近的一般通式144

9.7 经典整数阶数值微分、积分公式的推广146

9.7.1 经典向后差商及中心差商格式的推广146

9.7.2 插值型数值积分公式的推广148

9.7.3 经典线性多步法的推广（Lubich分数阶线性多步法）148

第10章 分数阶常微分方程数值解方法152

10.1 直接法153

10.2 间接法157

10.2.1 R算法157

10.2.2 分数阶预估-校正方法157

10.3 差分格式157

10.4 误差分析159

第11章 分数阶偏微分方程数值解解法161

11.1 空间分数阶对流-扩散方程161

11.2 时间分数阶偏微分方程164

11.2.1 差分格式165

11.2.2 稳定性分析（Fouricr-Von Ncumann方法）165

11.2.3 误差分析166

11.3 时间-空间分数阶偏微分方程168

11.3.1 差分格式168

11.3.2 稳定性及收敛性分析170

参考文献173