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上册1

预备知识：集合与函数1

第1章 函数的导数与微分3

1.1 函数的导数3

1.1.1 导数的概念3

1.1.2 导数的惟一性及简单的导数公式8

习题1.19

1.2 导数的性质10

1.2.1 导数不变号则函数单调10

1.2.2 第一单调定理10

1.2.3 第二单调定理11

1.2.4 强可导函数导数差商有界12

1.2.5 导数的不等式和估值定理13

习题1.216

1.3 求导法则16

1.3.1 乘积函数的求导法则16

1.3.2 复合函数的求导法则17

1.3.3 函数倒数与函数商的求导法则18

1.3.4 反函数的求导法则19

习题1.322

1.4 对数函数与指数函数的导数公式23

1.4.1 自然对数的概念与性质23

1.4.2 指数函数y＝ez的概念与性质25

习题1.428

1.5 基本初等函数及初等函数的导数28

习题1.529

1.6 几种特殊求导法30

1.6.1 隐函数求导法30

1.6.2 由参数方程确定的函数的求导法则31

1.6.3 取对数求导法32

习题1.633

1.7 高阶导数33

习题1.735

1.8 函数的微分36

1.8.1 微分的概念36

1.8.2 基本初等函数微分公式与微分法则37

1.8.3 微分在近似计算中的应用39

习题1.841

总习题141

科学家简介43

第2章 导数的应用44

2.1 泰勒（Taylor）公式44

习题2.149

2.2 函数单调性的判定49

习题2.250

2.3 函数曲线凹凸性的判定50

习题2.354

2.4 函数的极值与最值55

2.4.1 函数的极值55

2.4.2 函数的最值59

习题2.460

总习题261

科学家简介62

第3章 定积分和不定积分63

3.1 定积分与微积分基本定理63

3.1.1 定积分的公理化定义63

3.1.2 差商有界函数积分系统的惟一性65

3.1.3 微积分学基本定理（牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式）66

3.1.4 变上限的定积分67

习题3.169

3.2 原函数与不定积分70

3.2.1 原函数与不定积分的概念70

3.2.2 不定积分的性质73

习题3.276

3.3 换元积分法77

3.3.1 第1类换元积分法77

3.3.2 第2类换元积分法82

习题3.387

3.4 分部积分法87

习题3.493

3.5 几种特殊类型函数的积分93

3.5.1 有理函数的积分94

3.5.2 三角函数有理式的积分100

3.5.3 简单无理式的积分101

习题3.5103

3.6 定积分的计算103

习题3.6104

3.7 定积分的换元法和分部积分法105

3.7.1 定积分的换元积分法105

3.7.2 定积分的分部积分法109

习题3.7110

总习题3112

科学家简介114

第4章 定积分的应用118

4.1 平面图形的面积118

4.1.1 平面直角坐标系下面积的计算118

4.1.2 极坐标情形120

4.1.3 参数方程情形121

习题4.1121

4.2 空间立体的体积123

4.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积（截面法）123

4.2.2 旋转体的体积124

习题4.2126

4.3 平面曲线的弧长126

4.3.1 直角坐标情形127

4.3.2 参数方程情形128

4.3.3 极坐标情形128

习题4.3129

4.4 功、水压力和引力129

4.4.1 变力沿直线所做的功130

4.4.2 水压力131

4.4.3 引力132

习题4.4133

总习题4133

科学家简介135

第5章 数列极限与无穷级数137

5.1 实数集的连续性和连续归纳法137

5.1.1 实数集的连续性137

5.1.2 连续归纳法138

5.1.3 确界原理139

习题5.1140

5.2 数列极限的概念140

5.2.1 数列极限的“ε-N”语言141

5.2.2 无界不减数列141

5.2.3 数列极限的“D-”语言143

习题5.2145

5.3 收敛数列的性质与运算146

5.3.1 收敛数列的性质146

5.3.2 数列极限的运算性质148

5.3.3 数列极限的存在准则149

习题5.3152

5.4 数项级数的概念和性质153

5.4.1 基本概念153

5.4.2 级数的基本性质155

习题5.4156

5.5 正项级数的判别法157

5.5.1 积分判别法157

5.5.2 比较判别法158

5.5.3 比值判别法和根值判别法159

习题5.5161

5.6 一般项级数161

5.6.1 交错级数161

5.6.2 绝对收敛与条件收敛162

习题5.6164

总习题5164

科学家简介166

第6章 函数的极限和连续性168

6.1 函数极限的概念168

6.1.1 函数极限的“ε-”语言168

6.1.2 无界单调函数169

6.1.3 函数极限的“D-”语言171

习题6.1173

6.2 函数极限的性质与运算174

6.2.1 函数极限的性质174

6.2.2 函数极限的运算法则176

6.2.3 函数极限存在准则177

6.2.4 两个重要极限180

习题6.2182

6.3 无穷小量与无穷大量183

6.3.1 无穷小量的概念183

6.3.2 无穷小量阶的比较184

6.3.3 无穷大量185

习题6.3186

6.4 函数的连续性187

6.4.1 函数在一点连续的概念187

6.4.2 间断点及其分类188

6.4.3 初等函数的连续性191

习题6.4192

6.5 闭区间上连续函数的性质193

6.5.1 最值性193

6.5.2 介值性194

6.5.3 一致连续性195

习题6.5196

总习题6196

第7章 极限与导数198

7.1 函数在一点处可导的概念198

7.1.1 强可导和极限的联系198

7.1.2 函数在一点可导的定义199

7.1.3 导数的计算方法203

7.1.4 高阶导数207

7.1.5 导数的几何意义208

习题7.1209

7.2 微分中值定理210

7.2.1 费马（Fermat）定理211

7.2.2 罗尔（Rolle）定理212

7.2.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理213

7.2.4 用拉格朗日中值定理讨论函数性质215

7.2.5 柯西（Cauchy）中值定理218

习题7.2219

7.3 洛必达（L′Hospital）法则220

7.3.1 0/0型与∞/∞型不定式220

7.3.2 其他类型的不定式222

7.3.3 关于使用洛必达法则求极限应注意的几点223

习题7.3224

7.4 泰勒公式225

7.4.1 泰勒公式226

7.4.2 泰勒公式的应用228

习题7.4229

7.5 函数性态的进一步研究230

7.5.1 函数的凹凸性230

7.5.2 函数的极值与最值232

7.5.3 函数作图235

习题7.5240

总习题7241

科学家简介243

第8章 极限与定积分245

8.1 函数的黎曼积分和黎曼可积性245

8.1.1 黎曼积分的定义245

8.1.2 黎曼可积条件248

习题8.1250

8.2 黎曼积分与积分系统的关系以及定积分的性质250

8.2.1 黎曼积分与积分系统的关系250

8.2.2 定积分的性质252

8.2.3 定积分中值定理255

习题8.2256

8.3 微积分基本公式　定积分的计算（续）256

8.3.1 变限积分与原函数的存在性256

8.3.2 换元积分法与分部积分法259

习题8.3259

8.4 广义积分260

8.4.1 无穷限的广义积分260

8.4.2 无界函数的广义积分264

习题8.4266

8.5 广义积分审敛法266

8.5.1 无穷限广义积分的审敛法267

8.5.2 无界函数广义积分的审敛法270

8.5.3 Γ函数简介271

习题8.5273

总习题8273

科学家简介275

附录276

附录1 基本初等函数的定义域和图像276

附录2 常用几何曲线图示281

习题答案285

下册299

第9章 空间解析几何与向量代数299

9.1 空间直角坐标系299

9.1.1 空间直角坐标系的建立点和坐标的对应299

9.1.2 两点间距离公式300

习题9.1301

9.2 向量及其运算302

9.2.1 向量的概念302

9.2.2 向量的运算303

习题9.2305

9.3 向量的分解和向量的坐标305

9.3.1 向量的分解和向量在坐标轴上的分量305

9.3.2 向量的坐标307

9.3.3 向量的模和方向余弦的坐标表示式309

习题9.3311

9.4 向量的数量积和向量积311

9.4.1 向量的数量积311

9.4.2 向量的向量积313

习题9.4315

9.5 平面及其方程316

9.5.1 确定平面的条件316

9.5.2 平面的几种方程316

9.5.3 两平面的位置关系319

习题9.5321

9.6 空间直线及其方程321

9.6.1 直线的各种方程322

9.6.2 两直线的夹角324

9.6.3 直线与平面的夹角325

9.6.4 直线与平面的综合例题325

习题9.6327

9.7 曲面及其方程329

9.7.1 球面329

9.7.2 线段的垂直平分面方程329

9.7.3 旋转曲面330

9.7.4 柱面332

9.7.5 二次曲面332

习题9.7336

9.8 空间曲线及其方程337

9.8.1 空间曲线的一般方程337

9.8.2 空间曲线的参数方程339

9.8.3 空间曲线在坐标面上的投影339

习题9.8341

总习题9341

第10章 多元函数微分法及其应用343

10.1 多元函数的基本概念343

10.1.1 平面区域343

10.1.2 n维空间344

10.1.3 多元函数的概念345

10.1.4 二元函数的几何意义346

10.1.5 二元函数的极限347

10.1.6 二元函数的连续性349

习题10.1350

10.2 偏导数351

10.2.1 偏导数的定义351

10.2.2 偏导数的几何意义353

10.2.3 高阶偏导数354

习题10.2355

10.3 全微分及其应用356

习题10.3360

10.4 多元复合函数的求导法则361

10.4.1 复合函数的中间变量为一元函数的情形361

10.4.2 复合函数的中间变量为多元函数的情形362

10.4.3 复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形364

习题10.4366

10.5 隐函数微分法366

10.5.1 一个方程的情形366

10.5.2 方程组的情形369

习题10.5372

10.6 微分法在几何中的应用373

10.6.1 空间曲线的切线与法平面373

10.6.2 空间曲面的切平面与法线376

习题10.6379

10.7 方向导数与梯度379

10.7.1 方向导数379

10.7.2 梯度381

10.7.3 梯度与等高线的关系382

10.7.4 数量场与向量场概念简介384

习题10.7385

10.8 多元函数的极值及最值385

10.8.1 二元函数的极值385

10.8.2 二元函数的最值388

10.8.3 条件极值389

习题10.8392

10.9 二元函数的泰勒公式392

10.9.1 二元函数的泰勒公式392

10.9.2 极值充分条件的证明395

习题10.9396

总习题10396

科学家简介398

第11章 重积分399

11.1 二重积分的概念399

11.1.1 实际问题399

11.1.2 二重积分的定义400

11.1.3 二重积分的基本性质401

习题11.1402

11.2 二重积分的计算402

11.2.1 直角坐标系下的计算公式402

11.2.2 二重积分的换元法405

习题11.2409

11.3 三重积分410

11.3.1 三重积分的概念410

11.3.2 直角坐标系下三重积分的计算公式410

11.3.3 三重积分的换元法412

习题11.3415

11.4 重积分的应用举例416

11.4.1 曲面的面积416

11.4.2 质心417

11.4.3 物体的转动惯量418

11.4.4 引力计算419

习题11.4420

11.5 含参变量积分421

11.5.1 含参变量的正常积分421

11.5.2 含参变量的广义积分424

习题11.5427

总习题11427

第12章 曲线积分429

12.1 对弧长的曲线积分429

12.1.1 对弧长的曲线积分的概念429

12.1.2 对弧长的曲线积分的性质430

12.1.3 对弧长的曲线积分的计算与应用430

习题12.1432

12.2 对坐标的曲线积分432

12.2.1 对坐标的曲线积分的概念432

12.2.2 对坐标的曲线积分的计算435

12.2.3 两类曲线积分的联系437

习题12.2437

12.3 格林（Green）公式438

12.3.1 格林公式438

12.3.2 曲线积分与路径的无关性441

习题12.3445

总习题12446

科学家简介447

第13章 曲面积分448

13.1 对面积的曲面积分448

13.1.1 对面积的曲面积分的概念448

13.1.2 对面积的曲面积分的计算449

习题13.1451

13.2 对坐标的曲面积分452

13.2.1 双侧曲面452

13.2.2 流量问题453

13.2.3 对坐标的曲面积分的概念和性质454

13.2.4 对坐标的曲面积分的计算455

13.2.5 两类曲面积分的联系457

习题13.2457

13.3 高斯（Gauss）公式458

13.3.1 高斯公式458

13.3.2 通量与散度460

习题13.3462

13.4 斯托克斯（Stokes）公式462

13.4.1 斯托克斯公式462

13.4.2 空间曲线积分与路径无关性465

13.4.3 向量场的环流量与旋度466

习题13.4468

总习题13468

科学家简介470

第14章 函数项级数472

14.1 幂级数472

14.1.1 函数项级数的一般概念472

14.1.2 幂级数及其收敛性473

14.1.3 幂级数的运算477

习题14.1480

14.2 函数展开成幂级数480

14.2.1 泰勒级数的概念481

14.2.2 函数展开成幂级数的方法483

习题14.2488

14.3 幂级数的应用489

14.3.1 函数值的近似计算489

14.3.2 计算定积分490

14.3.3 欧拉公式491

习题14.3491

14.4 函数项级数的一致收敛性491

14.4.1 函数项级数一致收敛性的概念491

14.4.2 一致收敛级数的基本性质494

习题14.4497

14.5 傅里叶（Fourier）级数497

14.5.1 三角级数和三角函数系的正交性497

14.5.2 函数展成傅里叶级数499

14.5.3 正弦级数和余弦级数505

14.5.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数508

14.5.5 傅里叶级数的复数形式511

习题14.5512

总习题14513

科学家简介515

第15章 微分方程初步516

15.1 微分方程的概念516

15.1.1 实例516

15.1.2 微分方程的基本概念517

15.1.3 微分方程解的存在性519

15.1.4 建立微分方程521

习题15.1523

15.2 一阶微分方程524

15.2.1 可以直接积分的类型524

15.2.2 变量可分离的类型525

15.2.3 右端为齐次函数的类型526

15.2.4 一阶线性微分方程527

15.2.5 伯努利（Bernouli）方程529

15.2.6 恰当方程与积分因子法530

习题15.2536

15.3 二阶微分方程537

15.3.1 三类可降阶的二阶微分方程537

15.3.2 二阶常系数线性微分方程540

习题15.3551

15.4 求高阶常系数线性非齐次微分方程特解的有限递推法552

习题15.4560

15.5 微分方程的幂级数解法560

习题15.5563

15.6 微分方程应用举例564

15.6.1 求平面曲线方程564

15.6.2 RC电路的充（放）电问题565

15.6.3 物体的冷却问题566

15.6.4 流体混合问题568

15.6.5 求物体的变速直线运动方程569

习题15.6573

总习题15574

科学家简介576

习题答案577