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第一部分 高等数学1

第一章 函数1

第一节 函数的有关概念和几种特性1

第二节 分段函数与积分上限的函数5

第二章 极限 连续 求极限的方法7

第一节 极限的概念与性质8

一、定义8

二、基本性质8

第二节 极限的存在与不存在问题9

一、数列 xn 敛散性的判别9

二、函数 y＝f（x）的极限存在与不存在问题10

三、证明二元函数z＝f（x，y）极限不存在问题11

第三节 无穷小量和它的阶12

一、无穷小量、极限、无穷大量及相互间的关系12

二、无穷小量的阶12

三、无穷小量阶的运算性质13

四、等价无穷小量的重要性质14

五、确定无穷小量阶的方法14

第四节 求极限的方法15

一、极限的四则运算与幂指数运算法则15

二、用洛必达法则求未定式的极限17

三、利用函数的连续性求极限20

四、利用变量替换法与两个重要极限求极限20

五、利用适当放大缩小法求极限21

六、利用函数极限求数列极限23

七、利用单调有界数列存在极限定理求某些递归数列的极限24

八、利用定积分求某些和式的极限26

九、求二元函数的极限27

第五节函数的连续性及其判断28

一、连续性概念28

二、连续性运算法则28

三、怎样判断函数的连续性28

四、二元函数的连续性30

第三章 导数 微分法31

第一节 导数的概念 函数的可导性与连续性之间的关系31

一、基本事项31

二、用导数定义求某些函数的极限32

三、用定义求导数33

第二节 微分法则36

一、导数的四则运算 复合函数求导法36

二、隐函数的微分法41

三、某些简单函数的n阶导数42

第三节 微分的概念及其运算法则44

第四节 导数的几何意义 经济学中的两个概念46

一、导数的几何意义46

二、经济学中的两个概念47

第五节 多元函数的偏导数与全微分概念50

第六节 复合函数偏导数的求法53

第七节 多元隐函数的微分法57

第八节 多元函数全微分计算60

第九节 多元函数极值63

第四章 闭区间上连续函数的性质微分学的中值定理及其应用68

第一节 闭区间上连续函数的性质及其应用68

第二节 微分学中值定理的内容提要69

第三节 用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要69

一、函数的单调性69

二、函数的极值69

三、函数的最大值、最小值70

四、函数图形的凹凸性和拐点70

五、曲线的渐近线71

六、函数图形的描绘71

第四节 微分学中值定理的应用题型72

一、函数单调性的讨论72

二、不等式的证明73

三、讨论极值和最值问题78

四、中值命题的证明79

五、方程根的讨论84

六、证明函数恒等常数86

七、描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题87

第五章 一元积分学89

第一节 不定积分的内容提要89

一、原函数与不定积分的概念89

二、不定积分的基本性质89

三、求不定积分的基本公式90

四、求不定积分的基本方法90

第二节 定积分的内容提要99

一、定积分的概念和性质 定积分中值定理99

二、微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式100

三、定积分的换元法101

四、定积分的分部积分法101

第三节 广义积分内容提要101

一、无穷区间上的广义积分（无穷积分）101

二、无界函数的广义积分（瑕积分）102

第四节 定积分的计算103

一、计算定积分的基本方法103

二、分段函数（包括带绝对值符号的函数）的定积分计算106

三、含参数的定积分计算107

第五节 广义积分的计算108

第六节 定积分证明题110

一、定积分等式的证明110

二、定积分不等式的证明113

三、定积分中值命题的证明116

四、从定积分的信息提取被积函数的信息118

第七节 变限定积分与原函数118

一、周期函数与奇、偶函数的变限定积分119

二、原函数的微分形式？的应用120

三、变限定积分的求导法则及其应用121

四、利用变限定积分证明积分等式与不等式122

第六章 二重积分123

第一节 二重积分的概念与性质123

一、二重积分的定义、几何意义与物理意义123

二、二重积分的存在性123

三、二重积分的性质124

第二节 在直角坐标系中化二重积分为累次积分127

第三节 二重积分的变量替换—平移变换与极坐标变换130

一、二重积分的平移变换130

二、在极坐标变换下化二重积分为累次积分130

第四节 怎样应用二重积分化为累次积分公式及简化二重积分计算问题133

第五节 无界区域上简单二重积分的计算139

第七章 微积分的应用140

第一节 导数的某些应用141

一、边际与弹性141

二、最大值与最小值应用问题143

第二节 定积分的某些应用148

第八章 无穷级数154

第一节 常数项级数？154

一、？收敛、和、发散的概念及基本性质154

二、用差消法、夹逼法求某些级数的和155

三、用必要条件判别级数的发散性156

四、用基本性质判别级数的收敛性157

第二节 正项级数的收敛判别法157

一、估计部分和有界法157

二、比较判别法158

三、达朗贝尔（比值）判别法160

第三节 交错级数160

第四节 级数的绝对收敛与条件收敛162

第五节 函数项级数幂级数163

一、基本概念163

二、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域164

三、幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法167

第六节函数的幂级数展开式172

一、内容提要172

二、初等函数的幂级数展开式173

第九章 常微分方程与差分方程176

第一节 常微分方程176

一、基本概念176

二、变量可分离的方程与齐次方程178

三、一阶线性方程180

四、二阶常系数线性微分方程183

第二节 差分方程188

一、基本概念188

二、一阶常系数线性差分方程189

第三节 微分方程与差分方程的简单应用192

第二部分 线性代数196

第一章 行列式196

第一节 行列式的概念196

第二节 行列式的性质与计算198

第三节 行列式按行（或列）的展开公式202

第四节 行列式的分块计算 范德蒙德行列式207

第二章 矩阵210

第一节 矩阵的概念及运算210

一、矩阵的概念210

二、矩阵的运算211

三、几类特殊的矩阵215

第二节 逆矩阵与伴随矩阵218

一、可逆矩阵的概念与性质218

二、伴随矩阵221

第三节 初等变换与初等矩阵224

一、概念与性质224

二、利用初等行变换求逆矩阵229

三、矩阵方程231

四、阶梯形矩阵233

第四节 矩阵的分块运算234

第三章 向量235

第一节 向量的线性关系236

一、向量的基本概念236

二、向量的线性运算236

三、线性组合与线性表示237

四、向量组的线性相关与线性无关238

第二节 向量组的极大无关组与秩矩阵的秩242

一、向量组的极大无关组与秩242

二、矩阵的秩244

三、秩的计算246

第三节 向量的内积运算251

一、内积的定义及性质251

二、正交矩阵252

三、施密特正交化253

第四章 线性方程组256

第一节 概念256

一、基本概念256

二、线性方程组的解的性质257

第二节 齐次线性方程组Ax = O258

一、有非零解的条件258

二、基础解系和通解258

三、基础解系的求法（矩阵消元法）259

第三节 非齐次线性方程组Ax = B263

一、判别定理263

二、解的结构266

三、非齐次方程组通解的求法266

第五章n阶矩阵的特征值和特征向量 n阶矩阵的相似关系和对角化271

第一节 特征向量与特征值271

一、定义与性质271

二、特征多项式274

三、特征值与特征向量的计算276

第二节n阶矩阵的相似关系与对角化279

一、n阶矩阵的相似关系279

二、n阶矩阵的对角化问题280

第三节 实对称矩阵的对角化285

第六章 二次型288

第一节 二次型及其矩阵288

一、二次型的定义288

二、可逆线性变量替换290

三、n阶矩阵的合同关系291

第二节 二次型的标准化和规范化 惯性指数291

一、惯性指数291

二、标准化和规范化的方法292

三、惯性指数与特征值的关系296

第三节 正定二次型与正定矩阵297

一、定义与基本性质297

二、正定性的判别297

第三部分概率论与数理统计初步301

第一章 随机事件和概率301

第一节 随机事件及其运算关系301

一、基本概念301

二、事件的关系和运算301

第二节 概率的主要概念和性质302

一、概率的定义及其基本性质302

二、条件概率与事件的独立性302

第三节 概率的主要公式及应用303

一、计算概率的主要公式303

二、概率计算的综合题305

第二章 随机变量及其概率分布308

第一节 随机变量及其分布函数308

一、随机变量308

二、分布函数308

三、随机变量的函数308

四、期望308

五、方差309

六、随机变量的分类309

第二节 离散型随机变量309

一、概率分布309

二、分布函数310

三、期望310

四、方差311

五、离散型随机变量函数Y＝f （X）的概率分布311

六、常见的离散型概率分布312

第三节 连续型随机变量312

一、分布密度312

二、分布函数313

三、期望313

四、方差314

五、随机变量函数Y＝f（X）的概率分布314

六、随机变量函数Y＝f （X）期望计算的公式314

七、常见的连续型分布314

第四节 随机变量的分布函数、期望、方差的综合练习315

第三章 随机向量及其概率分布319

第一节 随机向量的基本概念319

一、随机向量319

二、联合分布函数319

三、边缘分布函数319

四、随机向量的独立性320

五、随机向量的数字特征320

六、随机向量的函数320

七、随机向量的分类320

第二节 离散型随机向量320

一、联合概率分布320

二、边缘概率分布321

三、条件概率分布322

四、离散型随机向量独立性条件322

五、离散型随机向量函数Z=f（X，Y）的概率分布322

六、离散型随机向量函数的期望公式322

第三节 连续型随机向量322

一、联合分布密度与联合分布函数322

二、二元均匀分布323

三、边缘分布函数与边缘分布密度函数324

四、连续型随机向量的独立性324

五、条件分布密度325

六、连续型随机向量函数的概率分布密度325

七、连续型随机向量函数的期望公式325

八、二元正态分布？327

第四节 独立正态随机变量函数的概率分布328

一、n维连续型随机向量328

二、n维正态随机向量的有关命题328

三、X2分布、t分布和F分布329

第五节 随机向量的概率分布和数字特征330

的计算330

第四章 大数定律和中心极限定理337

第一节 切比雪夫不等式和大数定律337

一、切比雪夫不等式337

二、切比雪夫大数定律337

三、伯努利大数定律338

四、辛钦大数定律338

第二节 中心极限定理338

一、泊松极限定理338

二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理339

三、列维-林德伯格中心极限定理339

第五章 数理统计340

第一节 数理统计的基本概念340

一、总体与样本340

二、统计量341

三、正态总体某些统计量的分布341

四、分布函数的分位数342

第二节 参数估计342

一、点估计342

二、区间估计346

第三节 假设检验349

一、假设检验的基本点349

二、单个正态总体？的假设检验349

三、两个独立正态总体？的假设检验350