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第1章 集合与函数1

1.1集合1

1.1.1集合的概念1

1.1.2实数集1

1.1.3思维拓展问题解答3

1.1.4知识拓展3

1.1.5习题1.13

1.2函数3

1.2.1 函数的概念3

1.2.2函数的表示法5

1.2.3反函数6

1.2.4具有某种特性的函数7

1.2.5复合函数9

1.2.6基本初等函数与初等函数9

1.2.7思维拓展问题解答12

1.2.8知识拓展12

1.2.9习题1.212

第2章 极限与连续14

2.1两类典型问题14

2.1.1变化率问题14

2.1.2求积问题15

2.1.3思维拓展问题解答16

2.1.4知识拓展17

2.1.5习题217

2.2函数在有限点处的极限与连续17

2.2.1当x→x0时，函数f（x）的极限及无穷大17

2.2.2一个重要结论18

2.2.3单侧极限19

2.2.4函数的连续性20

2.2.5间断点21

2.2.6思维拓展问题解答22

2.2.7知识拓展22

2.2.8习题2.225

2.3函数在无穷远处的极限26

2.3.1当x→+∞时，函数f（x）的极限26

2.3.2当x→-∞时，函数f（x）的极限27

2.3.3当x→∞时，函数f（x）的极限及无穷大27

2.3.4思维拓展问题解答28

2.3.5知识拓展28

2.3.6习题2.329

2.4极限的运算法则与初等函数的连续性29

2.4.1极限的四则运算法则29

2.4.2极限的复合运算法则29

2.4.3区间上的连续函数与初等函数的连续性30

2.4.4无穷小30

2.4.5思维拓展问题解答32

2.4.6知识拓展33

2.4.7习题2.433

2.5无穷小的性质及比较34

2.5.1具有极限的函数与无穷小的关系34

2.5.2无穷小的代数性质34

2.5.3无穷小的比较35

2.5.4思维拓展问题解答35

2.5.5知识拓展35

2.5.6习题2.536

2.6重要极限与等价无穷小替换法则37

2.6.1夹挤准则37

2.6.2第一个重要极限lim x→0 sin x/x=137

2.6.3等价无穷小替换法则37

2.6.4第二个重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e38

2.6.5 1∞型极限计算公式40

2.6.6思维拓展问题解答40

2.6.7习题2.640

第3章 导数与微分43

3.1导数的概念43

3.1.1导数的定义与几何意义43

3.1.2函数可导性与连续性的关系44

3.1.3函数增量（改变量）与函数连续、可导的等价定义44

3.1.4思维拓展问题解答45

3.1.5知识拓展46

3.1.6习题3.146

3.2导数的四则运算法则47

3.2.1几个基本初等函数的导数公式47

3.2.2导数的四则运算法则48

3.2.3思维拓展问题解答48

3.2.4知识拓展49

3.2.5习题3.249

3.3微分及反函数求导法则49

3.3.1函数增量公式49

3.3.2函数微分的定义50

3.3.3反函数求导法则51

3.3.4微分公式与微分运算法则52

3.3.5思维拓展问题解答52

3.3.6知识拓展53

3.3.7习题3.353

3.4复合函数的求导法则及一阶微分形式不变性54

3.4.1复合函数的求导法则54

3.4.2一阶微分形式不变性55

3.4.3思维拓展问题解答55

3.4.4知识拓展55

3.4.5习题3.456

3.5高阶导数56

3.5.1高阶导数56

3.5.2思维拓展问题解答57

3.5.3知识拓展57

3.5.4习题3.558

3.6微分方程的基本概念58

3.6.1微分方程概念的引例58

3.6.2微分方程的基本概念59

3.6.3思维拓展问题解答60

3.6.4知识拓展60

3.6.5习题3.661

3.7二阶线性微分方程61

3.7.1二阶线性齐次微分方程61

3.7.2二阶线性非齐次微分方程63

3.7.3知识拓展65

3.7.4习题3.765

第4章 定积分与不定积分67

4.1定积分67

4.1.1定积分的定义67

4.1.2定积分的存在性68

4.1.3定积分的基本性质69

4.1.4定积分的计算公式69

4.1.5思维拓展问题解答70

4.1.6知识拓展70

4.1.7习题4.171

4.2原函数与不定积分71

4.2.1原函数及其性质71

4.2.2不定积分及其性质72

4.2.3不定积分的几何意义73

4.2.4思维拓展问题解答74

4.2.5知识拓展74

4.2.6习题4.275

4.3直接积分法76

4.3.1直接积分法应用举例76

4.3.2习题4.377

4.4换元积分法78

4.4.1第一类换元积分法78

4.4.2第二类换元积分法82

4.4.3知识拓展84

4.4.4习题4.485

4.5含三角函数式的积分86

4.5.1直接积分法86

4.5.2第一类换元积分法86

4.5.3第二类换元积分法（三角代换）88

4.5.4知识拓展89

4.5.5习题4.591

4.6分部积分法92

4.6.1分部积分公式92

4.6.2思维拓展问题解答95

4.6.3知识拓展95

4.6.4习题4.696

4.7一阶微分方程97

4.7.1可分离变量的一阶微分方程97

4.7.2一阶线性微分方程99

4.7.3思维拓展问题解答100

4.7.4知识拓展100

4.7.5习题4.7104

第5章 一元微积分的应用105

5.1函数的最值、极值105

5.1.1极限的局部性质105

5.1.2闭区间上连续函数的整体性质106

5.1.3函数的极值与费马（Fermat）定理107

5.1.4思维拓展问题解答108

5.1.5习题5.1108

5.2微分中值定理108

5.2.1罗尔（Rolle）定理108

5.2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理与柯西（Cauchy）中值定理109

5.2.3思维拓展问题解答110

5.2.4习题5.2110

5.3洛必达（LHospital）法则及其应用110

5.3.1洛必达法则111

5.3.2使用洛必达法则的注意事项与洛必达法则应用举例111

5.3.3其它类型未定式113

5.3.4思维拓展问题解答115

5.3.5知识拓展115

5.3.6习题5.3116

5.4函数的单调性与极（最）值117

5.4.1函数严格单调性的判定与极值的求法117

5.4.2函数最值的求法及其应用118

5.4.3思维拓展问题解答120

5.4.4知识拓展121

5.4.5习题5.4122

5.5函数曲线的凹向与拐点123

5.5.1曲线的凹向123

5.5.2曲线的拐点124

5.5.3思维拓展问题解答125

5.5.4习题5.5126

5.6平面图形的面积127

5.6.1定积分？b a f（x）dx的几何意义127

5.6.2平面图形的面积127

5.6.3思维拓展问题解答129

5.6.4知识拓展129

5.6.5习题5.6130

5.7积分中值定理130

5.7.1定积分的估值不等式130

5.7.2积分中值定理131

5.7.3思维拓展问题解答132

5.7.4知识拓展132

5.7.5习题5.7134

5.8变上限积分135

5.8.1变上限积分135

5.8.2微积分学基本定理135

5.8.3无穷区间上的广义积分136

5.8.4思维拓展问题解答138

5.8.5知识拓展138

5.8.6习题5.8142

5.9微元法及其应用举例143

5.9.1微元法143

5.9.2平行截面面积为已知的几何体的体积144

5.9.3思维拓展问题解答146

5.9.4知识拓展146

5.9.5习题5.9147

第6章 级数148

6.1数列极限148

6.1.1数列极限的概念148

6.1.2收敛数列的性质148

6.1.3无穷小与无穷大149

6.1.4思维拓展问题解答150

6.1.5知识拓展150

6.1.6习题6.1150

6.2数项级数及其敛散性151

6.2.1数项级数的基本概念151

6.2.2数项级数的基本性质153

6.2.3正项级数的收敛性154

6.2.4交错级数及其审敛法155

6.2.5绝对收敛和条件收敛155

6.2.6思维拓展问题解答156

6.2.7知识拓展156

6.2.8习题6.2157

6.3幂级数159

6.3.1 函数项级数的一般概念159

6.3.2幂级数及其敛散性160

6.3.3思维拓展问题解答161

6.3.4知识拓展162

6.3.5习题6.3167

6.4傅里叶（Fourier）级数167

6.4.1三角级数167

6.4.2三角函数系的正交性168

6.4.3周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数169

6.4.4周期为2l的函数的傅里叶级数172

6.4.5思维拓展问题解答174

6.4.6知识拓展175

6.4.7习题6.4176

第7章 多元函数微积分177

7.1空间解析几何基本知识177

7.1.1空间直角坐标系177

7.1.2曲面与方程178

7.1.3思维拓展问题解答182

7.1.4知识拓展182

7.1.5习题7.1182

7.2多元函数的基本概念183

7.2.1二元函数的概念183

7.2.2二元函数的几何表示184

7.2.3二元函数的极限185

7.2.4二元函数的连续性185

7.2.5思维拓展问题解答186

7.2.6习题7.2186

7.3偏导数187

7.3.1偏导数187

7.3.2高阶偏导数188

7.3.3思维拓展问题解答189

7.3.4知识拓展190

7.3.5习题7.3190

7.4全微分191

7.4.1全增量191

7.4.2全微分191

7.4.3思维拓展问题解答192

7.4.4习题7.4192

7.5多元复合函数的偏导数193

7.5.1多元复合函数的求导法则193

7.5.2思维拓展问题解答194

7.5.3习题7.5194

7.6多元函数的极值195

7.6.1多元函数的极值195

7.6.2条件极值197

7.6.3习题7.6198

7.7二重积分198

7.7.1二重积分的概念198

7.7.2二重积分的性质200

7.7.3二重积分的计算200

7.7.4习题7.4203

第8章 概率与统计初步205

8.1随机事件及其概率205

8.1.1随机现象与随机事件205

8.1.2随机事件的概率与性质206

8.1.3随机事件概率的计算207

8.1.4思维拓展问题解答209

8.1.5知识拓展209

8.1.6习题8.1210

8.2随机变量及其分布211

8.2.1随机变量及其分布函数211

8.2.2离散型随机变量的分布212

8.2.3连续型随机变量及其分布214

8.2.4思维拓展问题解答217

8.2.5知识拓展217

8.2.6习题8.2218

8.3随机变量的数字特征219

8.3.1数学期望219

8.3.2方差220

8.3.3思维拓展问题解答221

8.3.4知识拓展222

8.3.5习题8.3222

8.4数理统计初步224

8.4.1数理统计简介224

8.4.2数理统计的基本概念224

8.4.3频率直方图225

8.4.4点估计227

8.4.5一元线性回归分析229

8.4.6思维拓展问题解答230

8.4.7习题8.4230

第9章 线性规划模型233

9.1矩阵的概念233

9.1.1矩阵的定义233

9.1.2一些特殊的m×n矩阵234

9.1.3一些特殊的方阵235

9.1.4习题9.1236

9.2矩阵的运算236

9.2.1矩阵的加、减法236

9.2.2数与矩阵的乘法237

9.2.3矩阵的乘法237

9.2.4思维拓展问题解答239

9.2.5习题9.2239

9.3线性方程组239

9.3.1线性方程组的概念239

9.3.2线性方程组与矩阵240

9.3.3习题9.3242

9.4线性规划模型243

9.4.1线性规划问题及其数学模型243

9.4.2运输问题及其数学模型247

9.4.3线性整数规划及其数学模型249

9.4.4习题9.4253

第10章 软件MATLAB入门255

10.1软件MATLAB 7.0基本操作255

10.1.1软件MATLAB 7.0的启动255

10.1.2软件MATLAB 7.0的常用窗口255

10.1.3软件MATLAB 7.0常用工具栏256

10.1.4软件MATLAB 7.0中的变量名规则256

10.1.5软件MATLAB 7.0中的特殊符号和运算符257

10.1.6软件MATLAB 7.0中的常用函数257

10.1.7利用软件MATLAB 7.0作图258

10.2软件MATLAB 7.0在极限中的应用260

10.3软件MATLAB 7.0在导数中的应用261

10.4软件MATLAB 7.0在积分中的应用263

10.5软件MATLAB 7.0在无穷级数中的应用265

10.6软件MATLAB 7.0在常微分方程中的应用266

10.7软件MATLAB 7.0在统计学中的应用266

10.7.1数据描述266

10.7.2常用概率分布267

10.7.3常用统计图267

10.7.4一元线性回归269

10.8软件MATLAB 7.0在线性规划中的应用271

10.9利用软件MATLAB 7.0绘制空间图形272

部分习题参考答案274

附录 标准正态分布函数N（0，1）数值表291