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第1章 函数、极限与连续1

阅读材料：数学王子高斯（Gauss）1

1.1预备知识2

1.1.1实数2

1.1.2三角公式或三角恒等式5

1.1.3行列式6

1.2函数8

1.2.1函数的概念及基本性质8

1.2.2初等函数11

1.2.3非初等函数举例15

习题1.216

1.3数列的极限与函数的极限17

1.3.1中国古代数学家的极限思想17

1.3.2数列的极限18

1.3.3函数的极限19

习题1.322

1.4极限的运算22

1.4.1极限的四则运算22

1.4.2两个重要极限25

习题1.429

1.5无穷小量与无穷大量30

1.5.1无穷小量30

1.5.2无穷大量31

1.5.3无穷小量阶的比较31

习题1.531

1.6函数的连续性32

1.6.1函数y= f （x）在x=x0处的连续与间断32

1.6.2函数y= f（x）在区间上的连续及性质33

1.6.3闭区间上连续函数的性质34

习题1.635

1.7极限（续）36

本章小结40

综合练习42

第2章 导数与微分44

阅读材料：最早提出导数思想的人——费马（Fermat）44

2.1导数的概念45

2.1.1问题的引入45

2.1.2导数的定义46

2.1.3导数的几何意义47

2.1.4左、右导数47

2.1.5函数的可导与连续的关系48

习题2.148

2.2导数的基本公式与求导法则49

2.2.1导数的基本公式49

2.2.2导数的四则运算法则50

2.2.3复合函数的求导法则51

2.2.4两种求导方法53

2.2.5高阶导数55

习题2.256

2.3函数的微分58

2.3.1问题的引入58

2.3.2微分的定义58

2.3.3微分的几何意义59

2.3.4微分在近似计算中的应用59

2.3.5微分基本公式和微分的运算法则60

习题2.361

本章小结62

综合练习63

第3章 导数的应用66

阅读材料：法国最有成就的数学家——拉格朗日（Lagrange）66

3.1微分中值定理与函数的单调性66

3.1.1罗尔（Rolle）定理67

3.1.2拉格朗日（Lagrange）中值定理67

3.1.3拉格朗日中值定理的两个重要推论68

3.1.4函数的单调性68

习题3.170

3.2函数的极值与最值70

3.2.1函数的极值70

3.2.2函数的最大值和最小值72

3.2.3极值理论在工科中的应用举例73

习题3.274

3.3洛必达法则74

3.3.1 lim x→x0 （x→∞） f（x）/g(x)为0/0型75

3.3.2 lim x→x0 （x→∞） f（x）/g(x)为∞/∞型76

3.3.3其他未定型76

习题3.377

3.4曲线的凸性与拐点78

3.4.1曲线的凸性及其判别法78

3.4.2拐点及其求法79

3.4.3曲线的渐近线79

3.4.4函数图像的描绘80

习题3.482

本章小结82

综合练习83

第4章 不定积分85

阅读材料：微积分创立的优先权85

4.1不定积分的概念86

4.1.1原函数86

4.1.2不定积分的概念86

4.1.3不定积分的几何意义87

习题4.187

4.2不定积分的性质及基本积分表88

4.2.1不定积分的性质88

4.2.2基本积分表89

习题4.290

4.3换元积分法90

4.3.1第一类换元积分法（凑微分法）90

4.3.2第二类换元积分法93

习题4.395

4.4分部积分法95

习题4.497

4.5有理函数的积分举例98

习题4.598

本章小结99

综合练习100

第5章 定积分及其应用102

5.1定积分的概念与性质102

5.1.1生活中不均匀、不规则整体量的计算102

5.1.2定积分的概念103

5.1.3定积分的几何意义和物理意义104

5.1.4定积分的性质105

习题5.1106

5.2微积分的基本定理106

5.2.1变动上限定积分与原函数存在定理106

5.2.2牛顿—莱布尼兹公式107

习题5.2109

5.3定积分的换元法与分部积分法110

5.3.1定积分的换元积分法110

5.3.2定积分的分部积分法111

5.3.3无穷限的广义积分——无穷积分112

习题5.3113

5.4定积分的应用113

5.4.1定积分应用的微元法114

5.4.2定积分的几何应用115

5.4.3定积分在物理学中的应用举例117

习题5.4121

本章小结121

综合练习122

第6章 微分方程及其应用124

阅读材料：世界数学史上伟大的数学家欧拉（Euler）124

6.1微分方程的基本概念126

习题6.1128

6.2一阶微分方程128

6.2.1可分离变量的微分方程128

6.2.2齐次型的微分方程130

6.2.3一阶线性微分方程132

习题6.2134

6.3二阶微分方程135

6.3.1可降阶的二阶微分方程135

6.3.2二阶常系数线性微分方程136

习题6.3141

6.4微分方程的应用举例142

习题6.4146

本章小结146

综合练习148

第7章 向量与空间解析几何150

阅读材料：解析几何的创始人笛卡尔（Rene Descartes）150

7.1空间直角坐标系与向量的概念151

7.1.1空间直角坐标系151

7.1.2向量的基本概念及坐标表示153

习题7.1154

7.2向量的运算155

7.2.1向量的线性运算155

7.2.2功·向量的数量积158

7.2.3力矩·向量的向量积160

习题7.2161

7.3平面与直线162

7.3.1平面的方程162

7.3.2直线的方程164

7.3.3直线与平面的位置关系166

习题7.3167

7.4曲面与空间曲线167

7.4.1曲面与空间曲线的概念167

7.4.2常见的曲面和空间曲线168

习题7.4172

本章小结172

综合练习174

第8章 多元函数的微积分学177

阅读材料：第三次数学危机——罗素悖论177

8.1多元函数的概念177

8.1.1二元函数的概念177

8.1.2二元函数的极限与连续179

习题8.1180

8.2多元函数偏导数与全微分180

8.2.1多元函数的偏导数180

8.2.2多元函数的全微分及其在近似计算中的应用举例182

8.2.3多元函数的高阶偏导数183

习题8.2184

8.3多元函数的复合函数偏导数185

8.3.1中间变量是一元函数的情况185

8.3.2中间变量是多元函数的情况186

习题8.3187

8.4多元函数的极值187

8.4.1二元函数的极值187

8.4.2二元函数的最大（小）值188

8.4.3条件极值——拉格朗日乘数法189

习题8.4190

8.5二重积分的概念和计算190

8.5.1二重积分的概念和性质190

8.5.2二重积分的计算192

本章小结195

综合练习195

第9章 无穷级数197

阅读材料：英国数学家泰勒（Taylor）197

9.1常数项级数198

9.1.1常数项级数的概念198

9.1.2正项级数收敛性判别法201

9.1.3任意项级数、绝对收敛和条件收敛204

习题9.1205

9.2幂级数207

9.2.1幂级数的概念与性质208

9.2.2函数的幂级数展开210

习题9.2213

9.3级数在近似计算中的应用举例214

习题9.3215

本章小结216

综合练习217

第10章 傅里叶级数220

10.1傅里叶级数220

10.1.1三角级数、正交函数系220

10.1.2傅里叶级数221

10.1.3收敛定理222

10.1.4正弦级数和余弦级数226

10.2以2l为周期的函数的傅里叶级数228

10.2.1以2l为周期的函数的傅里叶级数228

10.2.2傅里叶级数的复数形式230

10.3傅里叶变换231

10.3.1傅里叶变换的概念232

10.3.2傅里叶变换的一些性质233

10.4拉普拉斯变换234

10.4.1拉普拉斯变换的概念235

10.4.2拉普拉斯变换的存在定理236

10.4.3拉普拉斯变换的性质236

综合练习237

第11章 MATLAB数学软件简介239

11.1 MATLAB基础知识239

11.1.1数学软件基本知识介绍239

11.1.2 MATLAB常用函数与计算241

11.2用MATLAB软件解方程、求极限、导数、积分、微分方程242

11.2.1解方程242

11.2.2求极限242

11.2.3求导数243

11.2.4求积分244

11.2.5解微分方程244

11.3向量、矩阵及其运算245

11.3.1向量的表示与运算245

11.3.2矩阵的表示及运算247

11.3.3解线性方程组248

11.4 MATLAB图像处理249

11.4.1二维图像250

11.4.2三维图像254

11.5优化工具箱简介255

11.5.1无约束最小值255

11.5.2线性规划256

综合练习258