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第一篇 一元微积分1

第一章 函数、极限与连续1

第一节 函数1

一、函数的概念1

二、函数的基本性态3

三、反函数4

四、初等函数5

习题1-19

第二节 数列极限10

一、数列极限的概念10

二、收敛数列的有界性12

习题1-212

第三节 函数极限13

一、x→∞的情形13

二、x→x0的情形14

三、无穷小15

四、无穷大16

习题1-316

第四节 极限运算法则17

一、无穷小的运算法则17

二、极限四则运算法则18

习题1-421

第五节 两个重要极限22

一、极限存在准则22

二、两个重要极限23

三、无穷小的阶25

习题1-525

第六节 函数的连续性26

一、函数连续的概念26

二、函数的间断点28

习题1-629

第七节 初等函数的连续性30

一、连续函数的四则运算30

二、反函数与复合函数的连续性30

三、初等函数的连续性31

习题1-732

第八节 闭区间上连续函数的性质33

一、最值性质33

二、介值性质34

习题1-834

第二章 导数与微分36

第一节 导数的概念36

一、两个实例36

二、导数概念37

三、求导数举例38

四、导数的几何意义40

五、可导与连续的关系41

习题2-142

第二节 基本求导法则42

一、四则求导法则42

二、反函数求导法则43

三、基本导数公式44

习题2-245

第三节 初等函数的导数46

一、复合求导法则46

二、初等函数的导数47

习题2-348

第四节 高阶导数48

习题2-450

第五节 隐函数与参数求导法则51

一、隐函数求导法则51

二、参数求导法则52

习题2-553

第六节 函数的微分54

一、微分的概念54

二、微分的运算法则56

习题2-658

第七节 微分学中值定理59

一、罗尔定理59

二、拉格朗日中值定理59

三、柯西中值定理61

习题2-762

第三章 不定积分63

第一节 不定积分的概念与性质63

一、原函数与不定积分概念63

二、基本积分公式65

三、不定积分的性质66

习题3-168

第二节 换元积分法68

一、第一换元法68

二、第二换元法73

习题3-279

第三节 分部积分法81

习题3-386

第四章 定积分87

第一节 定积分的概念87

一、两个实例87

二、定积分的概念89

三、定积分的几何意义90

习题4-191

第二节 定积分的性质91

习题4-294

第三节 微积分基本定理95

一、变上限定积分95

二、微积分基本定理96

习题4-397

第四节 定积分的算法98

一、定积分的换元法98

二、定积分的分部积分法101

习题4-4103

第五节 广义积分103

一、无穷限广义积分104

二、无界函数广义积分105

习题4-5106

第二篇 一元微积分的应用107

第五章 导数与微分的应用107

第一节 未定式极限的求法107

一、0/0及∞/∞型未定式107

二、其他型未定式111

习题5-1113

第二节 函数单调性的判别法113

习题5-2115

第三节 函数极值的求法115

习题5-3118

第四节 函数最值的求法118

习题5-4120

第五节 曲线凹凸及拐点的判别法121

一、曲线的凹凸性及其判别法121

二、曲线的拐点及其求法122

习题5-5124

第六节 函数作图法124

习题5-6127

第七节 微分的应用127

一、弧微分公式127

二、微分在近似计算中的应用127

习题5-7128

第八节 导数的经济学应用128

一、成本函数与收入函数128

二、边际分析129

三、弹性分析130

习题5-8132

第六章 定积分的应用133

第一节 平面图形面积的求法133

一、直角坐标情形133

二、参数方程情形135

三、极坐标情形135

习题6-1136

第二节 体积的求法137

一、旋转体的体积137

二、已知截面立体的体积138

习题6-2139

第三节 平面曲线弧长的求法139

一、直角坐标情形139

二、参数方程情形140

三、极坐标情形141

习题6-3142

第四节 定积分的物理学应用142

一、变力沿直线的功142

二、液体静压力144

习题6-4145

第五节 定积分的经济学应用145

一、已知边际求总量145

二、资金流量及其现值147

习题6-5149

第七章 常微分方程150

第一节 基本概念150

习题7-1152

第二节 一阶微分方程的解法153

一、可分离变量的一阶微分方程153

二、齐次方程154

三、数学建模举例155

习题7-2158

第三节 一阶线性微分方程的解法158

一、一阶齐次线性微分方程的解法158

二、一阶非齐次线性微分方程的解法159

三、一阶非齐次线性微分方程通解的结构161

习题7-3162

第四节 可降阶的高阶微分方程的解法163

一、y（n）=f（x）型163

二、y″=f （x，y′）型163

三、y″=f （y,y′）型164

习题7-4165

第五节 二阶线性微分方程解的结构165

一、两个数学模型165

二、二阶线性微分方程及其解的结构167

习题7-5169

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程169

习题7-6171

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程172

一、f （x）=Pm（x）eax型172

二、f（x）=eax（A1cosβx+B1sinβx）型174

习题7-7175

第八章 无穷级数176

第一节 常数项级数176

一、级数的概念176

二、数项级数的基本性质178

三、正项级数及其审敛法179

四、交错级数及其审敛法183

五、绝对收敛与条件收敛184

习题8-1185

第二节 幂级数187

一、幂级数的概念187

二、幂级数的收敛性187

三、幂级数的运算性质190

习题8-2192

第三节 函数的幂级数展开193

一、泰勒级数193

二、函数的幂级数展开196

习题8-3200

第四节 傅里叶级数200

一、三角级数200

二、以2π为周期的函数的傅氏级数201

习题8-4206

第五节 任意区间上的傅氏级数206

一、[—π,π]上的傅氏级数207

二、[0,π]上的傅氏级数208

三、以2l为周期的函数的傅氏级数210

习题8-5212

第九章 数值计算方法214

第一节 误差简介214

一、误差的来源214

二、绝对误差与相对误差214

三、有效数字215

习题9-1215

第二节 方程的近似解法215

一、根的隔离215

二、二分法216

三、切线法218

习题9-2220

第三节 定积分的近似计算220

一、矩形法220

二、梯形法221

三、抛物线法222

习题9-3223

第四节 常微分方程的数值解法223

一、欧拉折线法（矩形法）224

二、改进的欧拉法（梯形法）225

三、龙格—库塔法226

习题9-4228

第五节 插值函数229

一、问题的提出229

二、线性插值与抛物插值230

三、拉格朗日插值公式232

四、均差插值公式233

习题9-5236

附录237

习题答案250