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第四章 在物理和几何中的应用367

4．1 平面曲线理论367

a．参数表示367

b．参数变换369

c．沿曲线的运动．时间作为参量．摆线的例子371

d．曲线的分类．定向376

e．导数．切线和法线的参数表示386

f．曲线的长度391

g．弧长作为参数397

h．曲率399

i．坐标轴变换，不变量405

j．狭义相对论中的匀速运动408

k．表示闭曲线内部面积的积分410

l．质量中心和曲线的矩418

m．旋转曲面的面积和体积420

n．惯性矩421

4．2 例422

a．普通摆线422

b．悬链线424

c．椭圆和双纽线424

4．3 二维向量425

a．用平移定义向量．记号427

b．向量的加法和乘法431

c．变向量及其导数和积分440

d．对平面曲线的应用．方向、速度和加速度441

a．牛顿运动定律445

4．4 在给定力作用下质点的运动445

b．落体运动446

c．约束在给定曲线上的质点的运动448

4．5 受到空气阻力的自由落体运动450

4．6 最简单的一类弹性振动——弹簧的运动453

4．7 在给定曲线上的运动454

a．微分方程和它的解454

b．沿一曲线下滑的质点456

c．运动的讨论457

d．普通摆459

e．圆滚摆460

a．牛顿万有引力定律462

4．8 引力场中的运动462

b．绕引力中心的圆周运动464

c．径向运动——逃逸速度465

4．9 功和能467

a．力在运动中所作的功467

b．功和动能．能量守恒469

c．两个质点间的相互引力471

d．弹簧的拉伸472

e．电容器充电472

附录473

A．1 法包线的性质473

A．2 闭曲线包围的面积．指数480

问题485

第五章 泰勒展开式491

5．1 引言：幂级数491

5．2 对数和反正切的展开式493

a．对数函数493

b．反正切函数496

5．3 泰勒定理497

a．多项式的泰勒表示497

b． 非多项式函数的泰勒公式498

5．4 余项的表示式及其估计499

a．柯西和拉格朗日余项499

b．泰勒公式的另一种推导法503

a．指数函数506

5．5 初等函数的展开式506

b．sin x，cos x，sinh x，cosh x的展开式507

c．二项式级数509

5．6 几何应用511

a．曲线的接触511

b．关于相对极大值和相对极小值的理论514

附录Ⅰ515

A．Ⅰ．1 不能展成泰勒级数的函数的例515

A．Ⅰ．2 函数的零点和无限点516

a．n阶零点516

b．v阶无限517

A．Ⅰ．3 不定式517

A．Ⅰ．4 各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性520

A．Ⅱ．1 插值问题．唯一性524

附录Ⅱ 插值法524

A．Ⅱ．2 解的构造．牛顿插值公式526

A．Ⅱ．3 余项的估计529

A．Ⅱ．4 拉格朗日插值公式532

问题533

第六章 数值方法537

6．1 积分的计算537

a．矩形近似公式538

b．改进的近似式——辛普森法则539

6．2 数值方法的另一些例547

a．误差计算547

b．π的计算550

c．对数的计算551

6．3 方程的数值解法553

a．牛顿法553

b．假位法556

c．迭代法557

d．迭代与牛顿程序561

附录563

A．1 斯特林公式563

问题567

第七章 无穷和与无穷乘积570

7．1 收敛与发散的概念571

a．基本概念571

b．绝对收敛与条件收敛574

c．项的重新排列578

d．无穷级数的运算581

7．2 绝对收敛和发散的判别法582

a．比较判别法．控制级数582

b．与几何级数相比较的收敛判别法583

c．与积分相比较586

7．3 函数序列589

a．函数与曲线序列的极限过程589

7．4 一致收敛与不一致收敛591

a．一般说明和定义591

b．一致收敛的一个判别法597

c．连续函数的一致收敛级数之和的连续性599

d．一致收敛级数的积分600

e．无穷级数的微分法603

7．5 幂级数604

a．幂级数的收敛性质——收敛区间605

b．幂级数的积分陆和微分法607

c．幂级数的运算608

d．展开式的唯一性609

e．解析函数610

7．6 给定函数的幂级数展开式．待定系数法．例611

a．指数函数612

b．二项式级数612

c．arcsin x的级数615

d．arsinh x＝log[x＋?(1+x~2)]的级数615

f．逐项积分的例(椭圆积分)616

e．级数乘法的例616

7．7 复数项幂级数617

a．在幂级数中引进复数项．三角函数的复数表示式617

b．复变函数一般理论一瞥620

附录622

A．1 级数的乘法和除法622

a．绝对收敛级数的乘法622

b．幂级数的乘法和除法623

A．2 无穷级数与反常积分624

A．3 无穷乘积627

A．4 含有伯努利数的级数630

问题633

第八章 三角级数642

8．1 周期函数643

a．一般说明．函数的周期开拓643

b．一个周期上的积分645

c．谐振646

8．2 谐振的叠加647

a．谐波．三角多项式647

b．拍652

8．3 复数表示法653

a．一般说明653

b．交流电上的应用655

c．三角多项式的复数表示法657

d．一个三角公式658

a．傅里叶系数660

8．4 傅里叶级数660

b．基本引理661

c．∫_0~∞sinz/zdz＝π/2的证明662

d．函数φ(x)＝x的傅里叶展式665

e．关于傅里叶展开的主要定理667

8．5 傅里叶级数的例673

a．预先说明673

b．函数φ(x)＝x~2的展开式673

c．x COS x的展开式674

d．函数f(x)＝|x|675

e．一个分段常数函数676

g．COSμx的展开式．余切分解为部分分式．正弦的无穷乘积677

f．函数|sinx|677

h．进一步的例679

8．6 收敛性的进一步讨论680

a．结果680

b．贝塞耳不等式680

c．推论(a)，(b)和(c)的证明681

d．傅里叶系数的量阶．傅里叶级数的微分法684

8．7 三角多项式和有理多项式的近似法685

a．关于函数表示法的一般说明685

b．魏尔斯特拉斯逼近定理685

c．按算术平均值的傅里叶多项式的费耶三角近似式687

d．在平均意义下的逼近和帕塞瓦尔关系式689

A．Ⅰ．1 周期区间的伸缩变换．傅里叶积分定理693

附录Ⅰ693

A．Ⅰ．2 非连续点上的吉布斯现象694

A．Ⅰ．3 傅里叶级数的积分697

附录Ⅱ698

A．Ⅱ．1 伯努利多项式及其应用698

a．定义及傅里叶展式698

b．生成函数．三角余切和双曲余切的泰勒级数701

c．欧拉-麦克劳林求和公式705

d．应用．渐近表达式707

e．幂级数的和．伯努利数的递推公式708

f．欧拉常数和斯特林级数710

问题713

a．简单的机械振动716

第九章 关于振动的最简单类型的微分方程716

9．1 力学和物理学的振动问题716

b．电的振荡718

9．2 齐次方程的解法．自由振动719

a．形式解719

b．解的诠释721

c．满足给定的初始条件．解的唯一性722

9．3 非齐次方程．强迫振动724

a．一般说明．叠加法724

b．非齐次方程的解法725

c．共振曲线727

d．振动的进一步讨论730

e．关于记录仪器构造的说明731