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第一章 几何空间的线性结构和度量结构1

1 向量及其线性运算1

1.1 向量的概念1

1.2 向量的加法2

1.3 向量的数量乘法4

1.4 共线（共面）的向量组6

习题1.110

2 几何空间的线性结构12

2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标12

2.2 用坐标做向量的线性运算15

2.3 三点（或两向量）共线的条件16

2.4 线段的定比分点18

习题1.222

3 向量的内积23

3.1 射影和分量24

3.2 向量的内积的定义和性质26

3.3 用坐标计算向量的内积27

3.4 方向角和方向余弦28

习题1.329

4 向量的外积30

4.1 向量的外积的定义31

4.2 向量的外积的几何意义，平面的定向31

4.3 向量的外积的运算规律33

4.4 用坐标计算向量的外积36

4.5 二重外积37

习题1.438

5 向量的混合积39

5.1 向量的混合积的几何意义和性质39

5.2 用坐标计算向量的混合积40

5.3 三向量（或四点）共面的条件41

5.4 拉格朗日恒等式及其应用43

5.5 向量代数在球面三角中的应用44

习题1.546

第二章 空间的平面和直线48

1 仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置48

1.1 平面的参数方程和普通方程48

1.2 两平面的相关位置51

1.3 三平面恰交于一点的条件52

1.4 有轴平面束52

习题2.154

2 直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离55

2.1 直角坐标系中平面方程的系数的几何意义55

2.2 点到平面的距离56

2.3 三元一次不等式的几何意义57

2.4 两个平面的夹角57

习题2.258

3 直线的方程，直线、平面间的相关位置60

3.1 直线的方程60

3.2 两条直线的相关位置63

3.3 直线和平面的相关位置64

3.4 例65

习题2.367

4 点、直线和平面之间的度量关系71

4.1 点到直线的距离71

4.2 两条直线的距离71

4.3 两条直线所成的角，直线和平面所成的角73

习题2.474

第三章 常见曲面76

1 球面和旋转面76

1.1 球面的普通方程76

1.2 球面的参数方程，点的球面坐标76

1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程77

1.4 旋转面78

习题3.182

2 柱面和锥面84

2.1 柱面方程的建立84

2.2 圆柱面，点的柱面坐标85

2.3 柱面方程的特点86

2.4 锥面方程的建立88

2.5 圆锥面89

2.6 锥面方程的特点90

习题3.291

3 二次曲面93

3.1 椭球面93

3.2 单叶双曲面和双叶双曲面95

3.3 椭圆抛物面和双曲抛物面97

3.4 二次曲面的种类99

习题3.3100

4 直纹面102

习题3.4105

5 曲面的交线，曲面所围成的区域106

5.1 画空间图形常用的三种方法106

5.2 曲线在坐标平面上的投影，曲面的交线的画法109

5.3 曲面所围成的区域的画法112

习题3.5113

第四章 坐标变换115

1 平面的仿射坐标变换115

1.1 点的仿射坐标变换公式115

1.2 向量的仿射坐标变换公式116

习题4.1117

2 矩阵及其运算118

2.1 矩阵的概念以及矩阵的运算118

2.2 矩阵的分块123

2.3 方阵的行列式125

2.4 可逆矩阵126

2.5 正交矩阵128

习题4.2129

3 平面直角坐标变换130

3.1 直角坐标变换公式130

3.2 直角坐标变换中的过渡矩阵131

3.3 移轴公式和转轴公式133

3.4 例134

习题4.3136

4 几何空间的坐标变换138

4.1 仿射坐标变换138

4.2 直角坐标变换139

4.3 例140

4.4 代数曲面（线）及其次数141

习题4.4142

第五章 二次曲线方程的化简及其类型和性质145

1 二次曲线方程的化简及其类型146

1.1 作转轴消去交叉项146

1.2 作移轴进一步化简方程151

1.3 例154

习题5.1157

2 二次曲线的不变量158

2.1 二次曲线的不变量和半不变量158

2.2 利用不变量确定二次曲线的类型和形状164

2.3 例166

习题5.2168

3 二次曲线的对称中心169

3.1 直线与二次曲线的相关位置170

3.2 二次曲线的对称中心172

习题5.3175

4 二次曲线的直径和对称轴176

4.1 二次曲线的直径176

4.2 圆锥曲线的对称轴178

4.3 从原方程的系数确定圆锥曲线的位置180

习题5.4183

5 二次曲线的切线，双曲线的渐近线185

5.1 二次曲线的切线和法线185

5.2 双曲线的渐近线188

习题5.5189

第六章 正交变换和仿射变换191

1 映射191

1.1 映射的定义和例191

1.2 映射的乘法，可逆映射194

习题6.1198

2 平面的正交变换199

习题6.2205

3 平面的仿射变换207

3.1 仿射变换的定义和例207

3.2 仿射变换的性质215

3.3 仿射变换的变积系数225

习题6.3227

4 图形的度量性质和仿射性质230

4.1 度量性质和仿射性质230

4.2 变换群与几何学233

4.3 图形的正交等价和仿射等价234

习题6.4236

5 二次曲线的正交分类和仿射分类236

习题6.5240

6 几何空间的正交变换和仿射变换241

习题6.6247

第七章 射影平面和它的射影变换251

1 射影平面，齐次坐标252

1.1 中心为O的把与扩大的欧几里得平面252

1.2 射影平面的定义和几何模型255

1.3 点的齐次坐标261

1.4 直线的齐次坐标方程263

习题7.1265

2 射影平面上的对偶原理265

习题7.2268

3 交比269

3.1 交比的定义和性质269

3.2 调和点列与调和线束274

习题7.3277

4 射影坐标和射影坐标变换278

4.1 点的射影坐标278

4.2 射影坐标变换公式282

4.3 直线的射影坐标方程284

4.4 用射影坐标计算交比285

4.5 点的非齐次射影坐标287

习题7.4288

5 射影映射和射影变换290

5.1 射影映射的定义和性质290

5.2 射影变换296

5.3 分式线性变换298

5.4 仿射-射影变换298

习题7.5300

6 配极，二次曲线的射影分类301

6.1 射影平面上的二次曲线301

6.2 二次曲线的切线302

6.3 极点和极线304

6.4 自配极三角形306

6.5 二次曲线的射影分类307

6.6 斯坦纳定理，巴斯卡定理，布里昂香定理309

习题7.6311

习题答案与提示314