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第一章 一些通用的数学概念与记号1

1.逻辑符号1

1.联词与括号1

2.关于证明的附注2

3.某些专门记号3

4.最后的附注3

习题3

2.集合及其基本运算4

1.集合（集）的概念4

2.包含关系5

3.最简单的集合运算7

习题9

3.函数10

1.函数（映射）的概念10

2.映射的简单分类13

3.函数的复合与互逆映射14

4.作为关系的函数／函数的图像15

习题18

4.某些补充21

1.集合的势（基数类）21

2.公理化集合论22

3.关于数学命题的结构及其集合论语言表述的附注24

习题25

第二章 实数28

1.实数集的公理系统和某些一般性质28

1.实数集的定义28

2.实数的某些一般的代数性质31

3.完备性公理与数集的上确界（下确界）的存在性35

2.最重要的实数类和实数运算方面的一些计算问题37

1.自然数与数学归纳原理37

2.有理数与无理数39

3.阿基米德原理42

4.实数集的几何解释与实数运算方面的一些计算问题44

习题54

3.关于实数集完备性的一些基本引理57

1.闭区间套引理（柯西-康托尔原理）57

2.有限覆盖引理（博雷尔-勒贝格原理）58

3.极限点引理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯原理）59

习题59

4.可数集与不可数集60

1.可数集60

2.连续统的势62

习题62

第三章 极限64

1.序列的极限64

1.定义和例子64

2.数列极限的性质66

3.数列极限的存在问题70

4.级数的初步知识78

习题86

2.函数的极限89

1.定义和例子89

2.函数极限的性质92

3.函数极限的一般定义（基上的极限）105

4.函数极限的存在问题109

习题122

第四章 连续函数125

1.基本定义和实例125

1.函数在一个点的连续性125

2.间断点129

2.连续函数的性质131

1.局部性质131

2.连续函数的整体性质133

习题140

第五章 微分学144

1.可微函数144

1.问题和引言144

2.在一点处可微的函数148

3.切线、导数和微分的几何意义150

4.坐标系的作用153

5.例题154

习题159

2.基本的微分法则160

1.微分运算和算术运算160

2.复合函数的微分运算163

3.反函数的微分运算166

4.基本初等函数导数表170

5.最简单的隐函数的微分运算171

6.高阶导数174

习题177

3.微分学的基本定理178

1.费马引理和罗尔定理178

2.关于有限增量的拉格朗日定理和柯西定理180

3.泰勒公式183

习题194

4.用微分学方法研究函数197

1.函数单调的条件197

2.函数具有内极值点的条件198

3.函数凸的条件202

4.洛必达法则208

5.函数图像的画法210

习题218

5.复数、初等函数之间的相互联系221

1.复数221

2.C中的收敛性与复数项级数223

3.欧拉公式以及初等函数之间的相互联系227

4.函数的幂级数表示和解析性230

5.复数域C的代数封闭性234

习题239

6.微分学在自然科学问题中的应用实例241

1.变质量物体的运动241

2.气压公式243

3.放射性衰变、链式反应和原子反应堆244

4.大气中的落体246

5.再谈数e和函数ex248

6.振动250

习题253

7.原函数256

1.原函数与不定积分256

2.求原函数的一些基本的一般方法257

3.有理函数的原函数262

4.形如∫R（cos x，sin x）dx的原函数265

5.形如∫R（x，y（x））dx的原函数268

习题270

第六章 积分275

1.积分的定义和可积函数集的描述275

1.问题和启发性思考275

2.黎曼积分的定义276

3.可积函数集278

习题289

2.积分的线性、可加性和单调性290

1.积分是空间R［a，b］上的线性函数290

2.积分是积分区间的可加函数291

3.积分的估计，积分的单调性，中值定理293

习题299

3.积分与导数300

1.积分与原函数300

2.牛顿-莱布尼茨公式302

3.定积分的分部积分法和泰勒公式303

4.定积分中的变量代换305

5.例题307

习题310

4.积分的一些应用312

1.有向区间的可加函数与积分312

2.道路的长度314

3.曲边梯形的面积319

4.旋转体的体积320

5.功与能321

习题325

5.反常积分326

1.反常积分的定义、例题和基本性质326

2.对反常积分收敛性的研究330

3.具有多个奇异点的反常积分334

习题336

第七章 多元函数及其极限与连续性338

1.空间Rm和它的重要子空间338

1.集合Rm和其中的距离338

2.Rm中的开集与闭集339

3.Rm中的紧集342

习题344

2.多元函数的极限与连续性344

1.函数的极限344

2.多元函数的连续性和连续函数的性质349

习题353

第八章 多元函数微分学354

1.Rm中的向量结构354

1.Rm是向量空间354

2.线性映射L∶Rm→Rn355

3.Rm中的范数356

4.Rm中的欧几里得结构357

2.多元函数的微分359

1.多元函数在一点的可微性及其微分359

2.实值函数的微分与偏导数360

3.映射微分的坐标形式雅可比矩阵362

4.函数在一点的连续性、偏导数和可微性362

3.基本微分法则364

1.微分运算的线性性质364

2.复合映射的微分运算366

3.逆映射的微分运算370

习题372

4.多元实值函数微分学的基本内容376

1.中值定理376

2.多元函数可微性的充分条件378

3.高阶偏导数378

4.泰勒公式381

5.多元函数的极值382

6.与多元函数有关的某些几何概念388

习题392

5.隐函数定理397

1.问题的提法与启发性思考397

2.隐函数定理的最简单情形398

3.向依赖关系F（x1，…，xm，y）＝0的推广402

4.隐函数定理404

习题408

6.隐函数定理的一些推论412

1.反函数定理412

2.光滑映射的局部正则形式415

3.函数的相关性419

4.局部分解微分同胚为最简微分同胚的复合421

5.莫尔斯引理423

习题426

7.Rn中的曲面和条件极值理论427

1.Rn中的k维曲面428

2.切空间432

3.条件极值436

习题447

单元测试题451

考试大纲458

附录一 面向一年级学生的数学分析引言461

附录二 初论方程的数值解法469

附录三 初论勒让德变换472

附录四 初论黎曼一斯蒂尔切斯积分、δ函数和广义函数475

附录五 欧拉一麦克劳林公式482

附录六 再论隐函数定理486

参考文献494

名词索引501

人名译名对照表521

译后记524