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第一章 函数与极限1

第一节 函数1

一、集合1

二、一元函数的定义2

三、函数的几种特性6

四、反函数8

习题1-19

第二节 初等函数10

一、基本初等函数10

二、复合函数14

三、初等函数15

四、双曲函数15

习题1-217

第三节 数列的极限18

一、数列18

二、数列极限的定义19

三、收敛数列的性质23

习题1-324

第四节 函数的极限25

一、自变量趋向无穷大时函数的极限25

二、自变量趋向有限值时函数的极限27

三、函数极限的性质30

习题1-432

第五节 无穷小与无穷大32

一、无穷小32

二、无穷大34

习题1-535

第六节 极限运算法则36

习题1-640

第七节 极限存在准则两个重要极限41

一、极限存在的两个准则41

二、几个重要不等式42

三、两个重要极限45

四、杂例及应用47

习题1-748

第八节 无穷小的比较49

习题1-851

第九节 函数的连续性51

一、函数连续的定义51

二、函数的间断点53

习题1-955

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性55

一、连续函数的和、积及商的连续性55

二、反函数与复合函数的连续性56

三、初等函数的连续性57

习题1-1058

第十一节 闭区间上连续函数的性质58

一、最大值和最小值定理59

二、介值定理60

习题1-1161

第二章 导数与微分62

第一节 导数的概念62

一、引例62

二、导数的定义64

三、求导数举例65

四、导数的几何意义67

五、函数的可导性与连续性之间的关系68

习题2-169

第二节 函数的求导法则70

一、函数的和、差、积、商的求导法则70

二、反函数的导数73

三、复合函数的导数75

习题2-277

第三节 高阶导数78

习题2-382

第四节 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数83

一、隐函数的导数83

二、对数求导法85

三、由参数方程所确定的函数的导数86

四、相关变化率88

习题2-489

第五节 函数的微分90

一、微分的概念90

二、微分的运算公式93

三、微分的应用95

习题2-597

第三章 中值定理与导数的应用99

第一节 中值定理99

一、罗尔定理99

二、拉格朗日中值定理100

三、柯西中值定理102

习题3-1104

第二节 洛必达法则105

习题3-2110

第三节 泰勒中值定理111

习题3-3115

第四节 函数单调性判别法115

习题3-4117

第五节 函数的极值与最值118

一、函数的极值及其求法118

二、函数的最值及其求法122

习题3-5125

第六节 曲线的凹凸性与拐点126

习题3-6129

第七节函数作图129

一、斜渐近线129

二、函数作图130

习题3-7133

第八节 曲线的曲率133

一、曲率的概念133

二、曲率的计算公式135

三、曲率圆与曲率半径136

习题3-8137

第九节 方程的近似解137

一、两分法138

二、牛顿法139

习题3-9140

第四章 不定积分141

第一节 不定积分的概念与性质141

一、原函数与不定积分的概念141

二、基本积分表144

三、不定积分的性质145

习题4-1147

第二节 换元积分法147

一、第一类换元法148

二、第二类换元法152

习题4-2157

第三节 分部积分法158

习题4-3162

第四节 几种特殊类型函数的积分163

一、有理函数的积分163

二、三角函数有理式的积分166

三、简单无理函数的积分举例168

习题4-4168

第五章 定积分170

第一节 定积分的概念170

一、引例170

二、定积分的定义173

习题5-1175

第二节 定积分的性质176

习题5-2179

第三节 微积分基本公式180

习题5-3185

第四节 定积分的换元法与分部积分法186

一、定积分的换元法186

二、定积分的分部积分法191

习题5-4193

第五节 定积分的近似计算195

一、梯形法195

二、抛物线法196

习题5-5198

第六节 反常积分初步198

一、积分区间为无穷的反常积分198

二、无界函数的反常积分201

习题5-6203

第六章 定积分的应用204

第一节 定积分的元素法204

第二节 平面图形的面积205

一、直角坐标情形205

二、极坐标情形207

习题6-2209

第三节 体积210

一、旋转体的体积210

二、平行截面面积为已知的立体的体积213

习题6-3214

第四节 平面曲线的弧长215

一、直角坐标情形215

二、参数方程情形216

三、极坐标方程情形217

习题6-4218

第五节 定积分的其他应用219

一、功219

二、液体压力220

三、引力221

四、工程上的应用222

习题6-5225

第七章 常微分方程227

第一节 常微分方程的基本概念227

习题7-1 230

第二节 可分离变量的微分方程231

习题7-2233

第三节 齐次方程233

习题7-3237

第四节 一阶线性微分方程237

一、一阶线性微分方程237

二、伯努利方程241

习题7-4242

第五节 可降阶的高阶微分方程243

一、y（n）=f（x）型的微分方程243

二、y″=f（x,y′）型的微分方程244

三、y″=f（y,y′）型的微分方程245

习题7-5246

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构247

习题7-6252

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程252

习题7-7256

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程257

一、非齐次项f（x）=P（x）eλx258

二、非齐次项f（x）=eλx［Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx］260

习题7-8262

第九节 欧拉方程263

习题7-9264

第十节 常微分方程组解法举例264

习题7-10266

第十一节 微分方程应用举例266

习题7-11272

第八章 空间解析几何与向量代数274

第一节 空间直角坐标系274

一、空间直角坐标系及点的坐标274

二、两点间距离公式275

三、曲面与方程276

四、空间曲线的一般方程277

习题8-1278

第二节 向量及其运算278

一、向量的概念278

二、向量的线性运算279

三、向量的数量积283

四、向量的向量积285

习题8-2287

第三节 平面方程288

习题8-3290

第四节 空间直线的方程291

一、空间直线的一般方程291

二、空间直线的对称式方程与参数方程291

三、两直线的夹角293

四、直线与平面的夹角293

习题8-4294

第五节 几种常见的曲面295

一、母线平行于坐标轴的柱面295

二、旋转曲面296

习题8-5300

第六节 空间曲线的参数方程投影柱面301

一、空间曲线的参数方程301

二、空间曲线在坐标面上的投影302

习题8-6304

第九章 多元函数微分法及其应用305

第一节 多元函数的基本概念305

一、引例305

二、二元函数的定义305

三、二元函数的图形307

四、二元函数的极限308

五、二元函数的连续性309

六、n维空间与n元函数310

习题9-1311

第二节 偏导数311

一、偏导数的定义及计算311

二、高阶偏导数314

习题9-2316

第三节 全微分317

习题9-3320

第四节 多元复合函数的求导法则321

习题9-4326

第五节 隐函数的求导公式327

一、一个方程确定的隐函数327

二、由方程组确定的隐函数329

习题9-5329

第六节 多元微分学在几何上的应用330

一、空间曲线的切线与法平面331

二、曲面的切平面与法线333

习题9-6335

第七节 方向导数与梯度336

一、方向导数的概念及计算336

二、梯度338

习题9-7340

第八节 多元函数的极值与最值340

一、多元函数的极值与最值340

二、条件极值343

习题9-8347

第十章 重积分348

第一节 二重积分的概念与性质348

一、二重积分的概念348

二、二重积分的性质351

习题10-1352

第二节 二重积分的计算法352

一、利用直角坐标计算二重积分353

二、利用极坐标计算二重积分358

习题10-2361

第三节 二重积分的应用363

一、曲面的面积363

二、平面薄片的质心365

三、平面薄片的转动惯量366

习题10-3367

第四节 三重积分368

一、三重积分的概念368

二、三重积分的计算369

三、三重积分的应用374

习题10-4376

第十一章 曲线积分与曲面积分378

第一节 对弧长的曲线积分378

一、对弧长的曲线积分的概念378

二、对弧长的曲线积分的计算380

习题11-1381

第二节 对坐标的曲线积分382

一、对坐标的曲线积分的概念382

二、对坐标的曲线积分的计算384

三、两类曲线积分之间的关系387

习题11-2388

第三节 格林公式及其应用388

一、格林公式388

二、平面上曲线积分与路径无关的条件392

习题11-3396

第四节 对面积的曲面积分396

一、对面积的曲面积分的概念397

二、对面积的曲面积分的计算398

习题11-4399

第五节 对坐标的曲面积分399

一、有向曲面399

二、对坐标的曲面积分的概念400

三、两类曲面积分的联系402

四、对坐标的曲面积分的计算404

习题11-5406

第六节 高斯公式 通量与散度406

一、高斯公式406

二、通量与散度408

习题1t-6410

第七节 斯托克斯公式环流量与旋度411

一、斯托克斯公式411

二、环流量与旋度414

习题11-7415

第十二章 级数417

第一节 常数项级数的基本概念和性质417

一、常数项级数的基本概念417

二、级数的基本性质419

习题12-1421

第二节 常数项级数敛散性的判别法422

一、正项级数及其敛散性判别法422

二、交错级数及其敛散性判别法426

三、绝对收敛与条件收敛427

习题12-2428

第三节 幂级数429

一、函数项级数的一般概念429

二、幂级数及其收敛性430

三、幂级数的运算434

习题12-3436

第四节 函数展开成幂级数437

习题12-4441

第五节 函数的幂级数展开式的应用442

一、近似计算442

二、欧拉公式444

习题12-5445

第六节 傅里叶级数446

一、周期为2п的周期函数的傅里叶级数446

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数453

习题12-6454

附录一 微积分学简史455

附录二 Mathematica使用初步462

附录三 二阶和三阶行列式介绍479

附录四 极坐标介绍482

习题答案486

参考文献522