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第一篇 微积分学3

第1章 函数、极限、连续3

1.1 函数3

1．预备知识3

2．函数的概念4

3．函数的几个简单性质4

4．反函数与复合函数6

5．初等函数7

6．几种非初等函数16

7．几种常用曲线17

1.2 极限22

1．数列极限22

2．函数极限23

3．函数极限的运算法则26

4．极限存在的夹逼准则27

5．两个重要极限27

6．常用极限28

7．无穷小量与无穷大量28

1.3 函数的连续性31

1．函数的连续性31

2．函数的间断点32

3．连续函数的运算与性质33

4．闭区间上连续函数的性质34

5．一致连续性定义与定理35

第2章 导数与微分36

2.1 导数36

1．导数的概念36

2．导数基本公式和求导法则39

3．高阶导数43

2.2 微分45

1．微分的概念45

2．微分基本公式与微分法则46

3．微分在近似计算中的应用48

第3章 中值定理与导数应用49

3.1 中值定理与洛必达法则49

1．中值定理49

2．洛必达（L'Hos pital）法则53

3.2 导数的应用54

1．函数的单调性54

2．函数的极值与最大值、最小值55

3．曲线的凹凸性与拐点56

4．函数图形的描绘58

5．弧微分与曲率59

第4章 不定积分63

4.1 不定积分的概念与性质63

1．原函数63

2．不定积分63

3．性质64

4.2 计算不定积分的基本方法64

1．换元积分法64

2．分部积分法67

4.3 几种特殊类型函数的积分69

1．有理函数的积分69

2．三角函数有理式的积分71

3．几类简单无理函数的积分71

4.4 积分表72

1．基本积分公式表72

2．简明积分表74

第5章 定积分及其应用87

5.1 定积分的概念与性质87

1．定积分的概念87

2．定积分的性质89

5.2 微积分基本公式90

1．积分上限函数90

2．积分上限函数的求导法则（原函数存在定理）90

3．牛顿-莱布尼兹公式91

5.3 定积分的计算方法91

1．换元积分法91

2．分部积分法92

3．常用定积分公式92

4．定积分的近似计算公式93

5.4 广义积分93

1．无穷限的广义积分93

2．无界函数的广义积分95

3．无穷限广义积分的审敛法96

4．无界函数广义积分的审敛法98

5．Г函数98

5.5 定积分的几何应用99

1．定积分的微元法99

2．平面图形的面积99

3．空间立体的体积100

4．平面曲线的弧长101

5.6 定积分的物理应用102

1．变速直线运动的路程102

2．变力沿直线所作的功102

3．水压力102

4．引力103

5．平均值104

第6章 向量代数与空间解析几何105

6.1 向量及其运算105

1．向量及加减运算105

2．向量与数的乘法106

3．空间直角坐标系107

4．向量的坐标表示及计算107

6.2 数量积与向量积109

1．数量积109

2．向量积110

3．混合积111

6.3 空间平面与直线112

1．空间平面及其方程112

2．空间直线及其方程114

6.4 空间曲面、曲线及其方程116

1．空间曲面116

2．空间曲线119

第7章 多元函数微分法及其应用121

7.1 多元函数的基本概念121

1．区域121

2．多元函数的概念123

3．二元函数的极限124

4．二元函数的连续性125

7.2 偏导数127

1．偏导数的定义及其计算法127

2．高阶偏导数130

7.3 全微分及其应用131

1．全微分的概念131

2．全微分在近似计算中的应用133

7.4 多元函数的求导法则133

1．多元复合函数的求导法则133

2．隐函数的求导公式135

7.5 微分法在几何上的应用137

1．空间曲线的切线与法平面137

2．曲面的切平面与法线139

7.6 方向导数与梯度140

1．方向导数140

2．梯度142

3．场论基本概念143

7.7 多元函数的极值及其求法144

1．多元函数的极值及最大值、最小值144

2．条件极值和拉格朗日乘数法146

7.8 二元函数的泰勒公式147

1．二元函数的泰勒公式147

2．误差估计式148

3．二元函数的麦克劳林公式148

第8章 重积分149

8.1 二重积分的概念与性质149

1．二重积分的概念149

2．性质150

8.2 二重积分的计算方法151

1．利用直角坐标计算二重积分151

2．在极坐标系下二重积分的计算方法152

8.3 二重积分的应用156

1．几何应用156

2．物理应用157

8.4 三重积分的概念及计算158

1．三重积分的概念158

2．在直角坐标系下三重积分的计算159

3．在柱面坐标系下三重积分的计算161

4．在球面坐标系下三重积分的计算162

5．三重积分的应用162

8.5 含参变量的积分163

第9章 曲线积分与曲面积分165

9.1 对弧长的曲线积分165

1．概念与性质165

2．计算公式167

3．对弧长的曲线积分的应用168

9.2 对坐标的曲线积分168

1．概念168

2．性质170

3．计算公式170

4．两类曲线积分之间的关系171

9.3 格林公式及其应用172

1．格林公式172

2．平面上曲线积分与路径无关175

9.4 对面积的曲面积分177

1．概念与性质177

2．计算方法178

9.5 对坐标的曲面积分179

1．概念与性质179

2．计算方法182

3．两类曲面积分之间的关系183

9.6 高斯公式与斯托克斯公式183

1．高斯（Gauss）公式183

2．斯托克斯公式185

3．向量微分算子187

第10章 无穷级数189

10.1 常数项级数的概念和性质189

1．常数项级数的概念和性质189

2．收敛级数的基本性质190

10.2 常数项级数的审敛法191

1．正项级数及其审敛法191

2．交错级数及其审敛法193

3．绝对收敛与条件收敛194

10.3 函数项幂级数195

1．函数项级数的一般概念195

2．一致收敛及其基本性质196

3．幂级数及其收敛性197

4．幂级数运算性质及和函数性质199

5．函数展开成幂级数200

6．傅里叶级数202

第11章 微分方程205

11.1 微分方程的基本概念205

1．微分方程205

2．微分方程的解、通解、特解205

3．初值问题206

11.2 一阶微分方程206

1．一阶微分方程206

2．一阶微分方程的解法207

3．可降阶的高阶微分方程210

11.3 高阶线性微分方程211

1．n阶线性微分方程的基本概念211

2．二阶常系数线性微分方程212

3．常系数线性微分方程组的解法举例216

第二篇 线性代数221

第12章 行列式221

12.1 n阶行列式221

1．排列与逆序221

2．n阶行列式222

3．行列式的性质222

12.2 行列式按行（列）展开224

1．余子式、k阶子式224

2．行列式按行（列）展开225

12.3 几个特殊行列式与行列式的主要计算方法226

1．几个特殊行列式226

2．行列式的主要计算方法229

12.4 克莱姆（Cramer）法则229

第13章 矩阵231

13.1 矩阵的概念231

1．矩阵定义231

2．几个特殊矩阵232

13.2 矩阵的运算234

1．矩阵的线性运算234

2．矩阵乘法235

3．矩阵乘幂235

4．矩阵转置236

5．方阵的行列式237

6．共轭矩阵237

13.3 逆矩阵238

1．逆矩阵238

2．逆矩阵、伴随矩阵性质239

3．求逆矩阵的方法240

4．逆矩阵的应用241

13.4 分块矩阵241

1．定义241

2．分块矩阵的运算243

13.5 初等变换与初等矩阵245

1．初等变换245

2．初等矩阵247

13.6 矩阵的秩249

1．矩阵秩的概念249

2．矩阵秩的性质249

3．求矩阵秩的方法250

第14章 向量与向量空间251

14.1 向量的概念与运算251

1．向量的概念251

2．向量的线性运算252

14.2 向量组的线性相关性252

1．概念252

2．重要结论253

14.3 向量组的极大线性无关组与向量组的秩255

1．定义255

2．重要结论256

3．向量组的秩和极大无关组的求解方法256

14.4 向量空间257

1．向量空间257

2．欧氏空间259

3．正交基与标准正交基260

4．正交矩阵与性质261

第15章 线性方程组263

15.1 齐次线性方程组263

1．齐次线性方程组的表示形式263

2．Am×nx=0解的判定264

3．Am×nx=0解的性质与结构264

4．求解方法265

15.2 非齐次线性方程组267

1．非齐次线性方程组的表示形式267

2．Am×nx=b解的判定268

3．Am×nx=b解的性质与结构268

4．求解方法268

第16章 相似矩阵270

16.1 方阵的特征值与特征向量270

1．概念270

2．重要性质271

16.2 相似矩阵272

1．相似、合同、对角化272

2．重要性质273

3．n阶方阵A可对角化的条件273

4．n阶方阵A对角化的方法274

5．n阶实对称矩阵A对角化的方法274

6．矩阵高次幂的求法275

第17章 二次型276

17.1 基本概念276

1．二次型及其矩阵276

2．线性变换、矩阵合同277

17.2 化二次型为标准形的方法278

1．主要结论278

2．实二次型化为标准形的方法279

17.3 正定二次型280

1．惯性定理280

2．正定二次型281

第18章 线性空间与线性变换284

18.1 线性空间的概念与性质284

1．线性空间的概念284

2．线性子空间的概念286

18.2 基、维数与坐标286

1．线性空间中元素的线性相关性286

2．基与维数287

3．坐标287

4．基变换与坐标变换288

18.3 线性变换289

1．线性变换的定义与性质289

2．线性变换的矩阵表示291

18.4 线性变换的特征值与特征向量292

1．定义292

2．性质292

第三篇 概率论与数理统计第19章 概率论的基本概念295

19.1 随机试验295

1．随机现象295

2．随机试验295

19.2 样本空间与随机事件296

1．样本空间与随机事件的概念296

2．事件之间的关系与运算297

3．事件的运算律299

19.3 频率与概率299

1．频率的概念及稳定性299

2．概率的概念及性质300

19.4 等可能概型（古典概型）302

1．古典概型的特点302

2．古典概型中事件A的概率计算公式302

19.5 条件概率302

1．条件概率的定义302

2．乘法原理303

3．全概率公式与贝叶斯公式303

19.6 事件的独立性304

1．两个事件的独立性304

2．多个事件的独立性305

第20章 随机变量及其分布307

20.1 随机变量307

20.2 离散型随机变量及其分布律308

1．离散型随机变量及其分布律的概念308

2．几个重要的离散型随机变量及其分布律308

20.3 随机变量的分布函数311

1．随机变量的分布函数311

2．随机变量的取值落在各区间内概率的分布函数表示312

3．离散型随机变量的分布函数与分布律的关系312

20.4 连续型随机变量及其概率密度313

1．连续型随机变量及其概率密度313

2．几种重要的连续型随机变量314

20.5 随机变量函数的分布317

1．离散型随机变量函数的分布317

2．连续型随机变量函数的分布318

第21章 多维随机变量及其分布319

21.1 二维随机变量319

1．二维随机变量及其分布函数319

2．二维离散型随机变量及其分布律320

3．二维连续型随机变量及其分布密度321

21.2 边缘分布323

1．边缘分布函数323

2．离散型二维随机变量的边缘分布律323

3．连续型二维随机变量的边缘概率密度324

21.3 条件分布324

1．二维离散型随机变量的条件分布律324

2．二维连续型随机变量的条件概率密度函数325

21.4 随机变量的独立性326

1．二维随机变量的独立性326

2．多维随机变量的独立性327

21.5 两个随机变量函数的分布328

1．二维离散型随机变量函数的分布328

2．二维连续型随机变量函数的分布329

第22章 随机变量的数字特征332

22.1 数学期望332

1．数学期望332

2．随机变量函数的数学期望333

3．数学期望的性质334

22.2 随机变量的方差335

1．方差的定义335

2．方差的性质335

3．切比雪夫不等式336

22.3 几种重要随机变量的数学期望和方差336

22.4 协方差及相关系数338

1．协方差338

2．相关系数338

22.5 矩、协方差矩阵339

1．随机变量矩的定义339

2．协方差矩阵与多维正态分布339

第23章 大数定律及中心极限定理342

23.1 大数定律342

1．大数定律的定义342

2．几个重要的大数定律342

3．随机变量序列依概率收敛343

23.2 中心极限定理343

1．独立同分布的中心极限定理343

2．李雅普诺夫（Liapunov）定理344

3．德莫佛-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理345

第24章 样本及抽样分布346

24.1 随机样本346

1．总体与个体346

2．样本346

3．简单随机样本347

24.2 统计量及抽样分布347

1．统计量与抽样分布347

2．分位点349

3．来自正态总体的几个重要统计量的分布349

4．来自正态总体的样本均值和样本方差的分布353

第25章 参数估计355

25.1 点估计355

1．点估计的定义355

2．矩法估计355

3．极大似然估计356

25.2 点估计的评判标准357

1．无偏性357

2．有效性358

3．一致性（相合性）358

25.3 区间估计358

1．区间估计的定义358

2．置信区间的一般求法359

25.4 正态总体均值和方差的区间估计359

1．单个总体N（μ,σ2）的情形359

2．两个总体N（μ1,σ？），N（μ2,σ？）的情形360

25.5 （0-1）分布参数p的区间估计362

25.6 单侧置信区间363

第26章 假设检验365

26.1 假设检验的概念365

1．基本思想365

2．两类错误及其概率366

3．参数假设检验的实现步骤366

26.2 正态总体均值的假设检验367

1．单个正态总体N（μ,σ2）均值μ的检验367

2．两个正态总体N（μ1,σ？）和N（μ2,σ？）均值差μ1-μ2的检验368

3．基于成对数据的假设检验（T检验）370

26.3 正态总体方差的假设检验370

1．单个正态总体N（μ,σ2）方差σ2的检验（x2检验）370

2．两个正态总体N（μ1,σ？）和N（μ2,σ？）方差比的检验（F检验）371

26.4 分布拟合检验（x2检验）372

1．x2检验372

2．x2检验法的基本思想372

附录1 标准正态分布表374

附录2 泊松分布表376

附录3 t分布表379

附录4 x2分布表382

附录5 F分布表387