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第6章　多元函数微分学1

6.1　多元函数和向量函数的极限与连续1

6.1.1　n维向量空间的区域1

6.1.2　多元函数和向量函数4

6.1.3　多元函数和向量函数的极限7

6.1.4　多元函数和向量函数的连续9

6.1.5　线性度量空间的极限与连续10

习题6.112

6.2　偏导数14

6.2.1　偏导数的概念14

6.2.2　高阶偏导数15

6.2.3　偏导数的几何意义18

6.2.4　向量函数的偏导数18

习题6.224

6.3　全微分及其应用25

6.3.1　全微分的概念25

6.3.2　函数可微的充分条件和必要条件26

6.3.3　全微分在近似计算中的应用30

习题6.330

6.4　复合函数的求导31

6.4.1　复合函数的一阶偏导数的计算31

6.4.2　复合函数的二阶偏导数的计算38

6.4.3　全微分形式的不变性40

习题6.441

6.5　隐函数求导43

6.5.1　由一个方程确定的隐函数的求导43

6.5.2　由方程组确定的隐函数组的求导47

习题6.549

6.6　多元函数微分学的几何应用50

6.6.1　空间曲线的切线方程和法平面方程50

6.6.2　空间曲面的切平面与法线52

习题6.657

6.7　方向导数与数量场的梯度58

6.7.1　场的概念58

6.7.2　方向导数和梯度64

6.7.3　梯度的物理意义和几何意义65

6.7.4　梯度的运算性质66

习题6.769

6.8　多元函数的Taylor公式与极值70

6.8.1　多元函数的Taylor公式70

6.8.2　多元函数的极值73

6.8.3　函数的最大值与最小值76

6.8.4　条件极值与Lagrange乘数法78

6.8.5　最小二乘法82

习题6.885

第6章综合练习题86

第7章　解析函数与共形映射89

7.1　复数与复变函数89

7.1.1　复数89

7.1.2　复平面区域92

7.1.3　复球面　扩充复平面94

7.1.4　复变函数95

7.1.5　复变函数的极限与连续97

习题7.1100

7.2　解析函数101

7.2.1　复变函数的导数和微分　Cauchy-Riemann方程101

7.2.2　解析函数105

习题7.2107

7.3　初等解析函数108

7.3.1　指数函数108

7.3.2　三角函数和双曲函数109

7.3.3　对数函数111

7.3.4　乘幂ab和幂函数113

7.3.5 反三角函数和反双曲函数114

习题7.3115

7.4　共形映射116

7.4.1　解析函数导数的几何意义116

7.4.2　共形映射的概念及若干基本定理119

习题7.4122

7.5　分式线性映射123

7.5.1　分式线性映射123

7.5.2　分式线性映射的性质125

习题7.5134

7.6　若干初等函数的共形映射134

7.6.1　幂函数的映射134

7.6.2　指数函数和对数函数的映射141

7.6.3　茹科夫斯基函数146

习题7.6148

第7章　综合练习题150

第8章　第一型积分152

8.1　第一型积分的概念和性质152

8.1.1　质量分布模型和第一型积分152

8.1.2　第一型积分的性质154

8.1.3　向量函数的第一型积分156

习题8.1156

8.2　重积分在直角坐标系下的表示和计算157

8.2.1　二重积分在直角坐标系下的表示和计算157

8.2.2　三重积分在直角坐标系下的表示和计算164

习题8.2170

8.3　利用极坐标、柱坐标和球坐标计算重积分171

8.3.1　重积分的换元积分法171

8.3.2　利用极坐标计算二重积分175

8.3.3　利用柱坐标计算三重积分179

8.3.4　利用球坐标计算三重积分180

习题8.3183

8.4　第一型曲线积分和曲面积分185

8.4.1　第一型曲线积分185

8.4.2　第一型曲面积分189

习题8.4196

8.5　第一型积分的应用197

8.5.1　第一型积分的几何应用197

8.5.2　质量、矩、重心和转动惯量201

8.5.3　引力205

习题8.5207

第8章　综合练习题208

第9章　第二型曲线积分与复变函数积分211

9.1　第二型曲线积分211

9.1.1　第二型曲线积分的概念211

9.1.2　第二型曲线积分的性质213

9.1.3　第二型曲线积分的计算214

9.1.4　第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系217

习题9.1218

9.2　Green公式220

9.2.1　Green公式220

9.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件226

9.2.3　全微分方程231

习题9.2231

9.3　复变函数的积分　Cauchy积分定理233

9.3.1　复变函数积分的概念233

9.3.2　复变函数积分的性质235

9.3.3　Cauchy积分定理235

9.3.4　原函数与不定积分238

习题9.3241

9.4　Cauchy积分公式242

9.4.1　Cauchy积分公式242

9.4.2　Cauchy型积分与解析函数的无限次可微性244

9.4.3　解析函数与调和函数的关系247

习题9.4251

第9章　综合练习题252

第10章　第二型曲面积分与场论255

10.1　第二型曲面积分255

10.1.1　第二型曲面积分的概念与性质　通量255

10.1.2　第二型曲面积分的计算259

习题10.1265

10.2　Gauss公式与散度266

10.2.1　Gauss公式266

10.2.2　散度271

10.2.3　外微分形式简介274

习题10.2280

10.3　Stokes公式与旋度281

10.3.1　Stokes公式281

10.3.2　旋度285

10.3.3　旋度的运算性质287

10.3.4　Hamilton算子▽289

习题10.3293

10.4　特殊场294

10.4.1　空间曲线积分与路径无关的等价条件294

10.4.2　几种重要的特殊场296

10.4.3　平面向量场与复势301

习题10.4305

10.5　场在正交曲线坐标系下的表示306

10.5.1　正交曲线坐标Lame系数306

10.5.2　基变换与坐标变换309

10.5.3　算子▽与场在正交曲线坐标系下的表示312

习题10.5318

第10章　综合练习题320

部分习题参考答案322

参考文献338

附录　区域的共形映射表339

索引343