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第一章 微分方程式绪论1

第二章 一阶常微分方程式9

2-1分离变数法9

题型1：直接可分离型16

题型2：变换再分离型25

2-2齐次方程式（homogeneous differential equation）33

题型1：齐次方程式34

题型2：座标平移型39

2-3正合方程式与积分因子43

题型1：正合方程式48

题型2：积分因子55

2-4合并积分法63

2-5一阶线性常微分方程式73

题型1：一阶线性常微分方程式74

题型2：非线性→变数变换线性81

题型3：颠倒型84

2-6白努力（Bernoulli）方程式与李卡迪（Riccati）方程式87

题型1：白努力（Bernoulli）常微分方程式87

题型2：李卡迪（Riccati）常微分方程式96

2-7参数变更法（Variation of Parameters）100

2-8高次非线性O.D.E.之奇解与通解103

题型1：导数型y＇ ＝f（x， y）104

题型2：因式分解法107

2-9解之存在性与唯一性111

2-10皮卡迭代法（Picard’s Iteration Method），115

第三章二（高）阶常系数线性微分方程式119

3-1线性独立与Wronskian行列式，119

3-2二（高）阶常系数O.D.E.之齐性解129

3-3二（高）阶常系数O.D.E.之特解141

题型1：待定系数法148

题型2：参数变更法180

题型3：积分公式法201

第四章二（高）阶变系数微分方程式205

4-1尤拉—柯西等维方程式（Euler-Cauchy equation）205

题型1：齐性Euler-Cauchy等维方程式206

题型2：二阶非齐性Euler-Cauchy等维方程式212

题型3：三阶非齐性Euler-Cauchy等维方程式225

题型4：座标平移型227

4-2观察齐性解（参数变更法）229

4-3高阶正合方程式246

4-4因变数变更（参数变更）251

4-5自变数变更254

4-6缺项型微分方程式257

题型1：因变数y缺项257

题型2：自变数x缺项259

第五章 联立线性O.D.E.265

第六章 特殊定义之函数275

6-1「微积分第一定理」与「莱布尼兹法则」275

6-2 Unit Step Function （Heavside function）.280

6-3 Delta Function（Unit Impluse Function）283

6-4 Gamma Function286

6-5 Beta Function293

第七章 拉卜拉斯变换299

7-1拉卜拉斯变换（Laplace Transform）与其逆变换299

7-2基本运算定理316

题型1：尺度变换定理.320

题型2：s轴平移定理（第一平移定理）.321

题型3：t轴平移定理（第二平移定理）325

题型4：微分之Laplace变换333

题型5：积分之Laplace变换334

题型6：Laplace变换之微分335

题型7：Laplace变换之积分339

题型8：初值定理与终值定理341

题型9：褶积与褶积定理（convolution theorem）343

题型10：Delta function之Laplace变换348

7-3周期函数之拉卜拉斯变换351

7-4以Laplace transform解O.D.E.360

7-5以Laplace transform解联立O.D.E.390

题型1：齐性型390

题型2：非齐性型396

7-6解无界域且边界条件B.C.与距离x无关之P.D.E.403

7-7以Laplace transform解积分方程式411

7-8 Laplace transform 公式总表419

第八章 常微分方程式之级数解425

8-1基本定义425

8-2 O.D.E.之幂级数解法（泰勒级数）431

题型1：泰勒级数法436

题型2：递回关系式（recurrence relation）442

题型3：座标平移型449

8-3 O.D.E.之Forbenius级数解法450

题型1：ri-r2≠整数460

题型2：ri＝r2（重根）467

题型3 ： r1-r2＝整数且小根会使得系数an不存在475

题型4：ri-r2＝整数但系数an存在480

第九章Bessel与Legendre函数487

9-1 Bessel方程式与Bessel函数487

9-2 BesselO.D.E.之推广型O.D.E.498

题型1：广义型Bessel O.D.E.504

题型2：修正型Bessel O.D.E.（Modified Bessel O.D.E.）506

题型3：因变数变更型507

题型4：自变数变更型509

题型5：双效合一型511

9-3 Bessel函数之性质516

9-4 Legendre方程式527

9-5 Legendre多项式（函数）之性质535

第十章Sturm-Liouville边界值问题（Sturm-Liouville B.V.P.）545

10-1基础观念545

10-2 Regular（规则型）Sturm-Liouville B.V.P.549

题型1：一般型549

题型2：平移型562

题型3：Cauchy等维型564

10-3 Periodic（周期型）Sturm-Liouville B.V. P.573

10-4特征函数的内积与正交性578

10-5广义之Fourier级数588

10-6史特姆—李维尔（Sturm-Liouville）定理603

第十一章 傅立叶级数与傅立叶积分623

11-1傅立叶级数（Fourier Series）623

11-2奇、偶函数之Fourier series.643

题型1：奇函数之Fourier sine级数647

题型2：偶函数之Fourier cosine级数652

11-3半幅展开与全幅展开656

11-4指数型之傅立叶级数673

11-5傅立叶积分与转换5.677

题型1：Fourier变换.680

题型2：Fourier三角变换684

11-6 Fourier变换之基本性质690

11-7以Fourier分析解微分方程式711

题型1：以Fourier级数解D.E.711

题型2：Fourier变换解D.E.（由奇异型forcing term来判断基底）715

第十二章P.D.E.（Ⅰ）卡氏座标之热传与波动偏微分方程式725

12-0基础观念725

12-1 规则型齐性P.D.E.727

题型1：齐性热传导P.D.E.729

题型2：齐性波动P.D.E.748

题型3：挫屈P.D.E.之分离变数法762

题型4：二维齐性P.D.E.764

12-2非齐性P.D.E.之暂态、稳态解773

12-3非齐性P.D.E.但B.C.齐性783

12-4非齐性且与时间t有关791

12-5无界域（奇异型）齐性P.D.E.797

第十三章P.D.E.（Ⅱ）卡氏座标之Laplace方程式803

13-1齐性规.则 P.D.E.804

题型1：齐性1维规则型804

题型2：齐性2维规则型（叠加法）815

13-2齐性无穷型P.D.E..822

13-3非齐性Laplace P.D.E.829

第十四章P.D.E.（Ⅲ）极座标、圆柱座标与球座标831

14-1极座标之Laplace P.D.E.831

题型1：内部型832

题型2：外部型839

题型3：圆环型（中间型）840

题型4：扇型846

题型5：非齐性型853

14-2极座标与圆柱座标之热传导、波动P.D.E.855

题型1：齐性一般型857

题型2：齐性轴对称型861

题型3：非齐性型871

14-3圆柱座标之Laplace P.D.E.879

题型1：一般型880

题型2：轴对称型882

14-4球座标之Laplace P.D.E.885

第十五章P.D.E.（Ⅳ）一阶Lagrange方程式与二阶偏微分方程式889

15-1一阶Lagrange方程式889

15-2常系数P.D.E.896

题型1：齐性解900

题型2：通解903

15-3 D’Alembert波动方程式解906

15-4线性二阶P.D.E.之 分 类与解法914

15-5变数结合法（The method of combination of Variables）921